一道中考函數(shù)應(yīng)用題的錯解及分析

賁知云

【摘要】根據(jù)一道中考函數(shù)題的錯解和分析，讓教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，重視數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系，幫助學(xué)生深入理解實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，那么學(xué)生也就能夠走出對題意理解上的誤區(qū)，這就是本文的意義所在.

【關(guān)鍵詞】中考函數(shù)應(yīng)用題；錯解；分析

一、題 目

某加油站5月份營銷一種油品的銷售利潤y（萬元）與銷售量x（萬升）之間函數(shù)關(guān)系的圖像如圖中折線所示，該加油站截止到13日調(diào)價(jià)時(shí)的銷售利潤為4萬元，截止至15日進(jìn)油時(shí)的銷售利潤為5.5萬元.（銷售利潤=（售價(jià)-成本價(jià)）×銷售量）

請你根據(jù)圖像及加油站5月份該油品的所有銷售記錄提供的信息，解答下列問題：

（1）求銷售量x為多少時(shí)，銷售利潤為4萬元？

（2）分別求出線段AB與BC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（3）我們把銷售每升油所獲得的利潤稱為利潤率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤率最大？（直接寫出答案）（2009年江蘇省中考數(shù)學(xué)試卷第27題）

二、正確的解答過程

解：（1）根據(jù)題意得，當(dāng)銷售利潤為4萬元，銷售量為4÷（5-4）=4（萬升）.

答：當(dāng)銷售量為4萬升時(shí)銷售利潤為4萬元.

（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），從13日到15日的利潤為5.5-4=1.5（萬元）.

（5.5-4）（x-4）=1.5，解得x=5，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，5.5）.

設(shè)線段AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x+b1，則4k1+b1=4，

5k1+b1=5.5.

解得k1=1.5，

b1=-2.

所以線段AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=1.5x-2（4≤x≤5）.因?yàn)?.5+（5.5-4）×（6-5）+（5.5-4.5）×（10-6）=11，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，11）.

設(shè)線段BC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x+b2，則5k2+b2=5.5，

10k2+b2=11.

解得k1=1.1，b1=0.

所以線段BC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=1.1x（5≤x≤10）.

（3）AB段的利潤最大.

三、主要錯誤

1.把圖像中點(diǎn)B的縱坐標(biāo)5.5（萬元）當(dāng)成了13日當(dāng)日的銷售利潤.

錯誤過程如下：

（5.5-4）x=5.5，解得x=11[]3，所以B11[]3，5.5，解得線段AB的解析式為y=-9[]2x+22.

2.在正確求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（5，5.5）后，卻因把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)10（萬升）理解錯，從而導(dǎo)致銷售量10萬升時(shí)的銷售利潤計(jì)算出錯.錯誤過程有3種：

（1）把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)10（萬升）錯誤地理解為由兩部分5+5組成.

錯誤過程如下：

當(dāng)x=10時(shí)，y=5.5+（5.5-4.5）（10-5）=10.5，所以C（10，10.5），解得線段BC的解析式為y=x+0.5.

（2）把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)10（萬升）錯誤地理解為由兩部分6+4組成.

錯誤過程如下：

當(dāng)x=10時(shí)，y=5.5+（5.5-4.5）×4=9.5，所以C（10，9.5），解得線段BC的解析式為y=0.8x+1.5.

（3）把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)10（萬升）錯誤地理解為31日當(dāng)日的銷售量.

錯誤過程如下：

當(dāng)x=10時(shí)，y=（5.5-4.5）×10=10，所以C（10，10），解得線段BC的解析式為y=0.9x+1.

3.把A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)理解錯，從而導(dǎo)致點(diǎn)C的縱坐標(biāo)求錯.

錯誤過程如下：

當(dāng)x=10時(shí)，y=4+5.5+（5.5-4.5）（10-5）=14.5，所以C（10，14.5），解得線段BC的解析式為y=1.8x-3.5.此種解法也導(dǎo)致第（3）問答錯.

4.其他錯誤

（1）單位錯誤：①不帶單位，第（1）問答成當(dāng)銷售量為4時(shí)，銷售利潤為4萬元；②不懂單位，不理解：元/升×萬升=萬元；③寫錯單位，如：噸、千克或是元.

（2）把點(diǎn)B，C的橫縱坐標(biāo)寫反，有的可以看出對題意的理解沒有問題，在求對了點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)后，卻把點(diǎn)B，C的橫縱坐標(biāo)寫反，而導(dǎo)致線段AB，BC的解析式求錯.

四、錯誤本質(zhì)分析

1.對函數(shù)圖像理解的誤區(qū)

本題是一道一次函數(shù)應(yīng)用題，學(xué)生比較關(guān)注圖像信息，在根據(jù)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)求到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)后，學(xué)生草率地利用同樣的方式求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，即用13日當(dāng)日的銷售單價(jià)減去成本價(jià)再乘以銷售量得到銷售利潤（如錯誤1）.

學(xué)生雖然讀到了13日銷售單價(jià)與前面的變化，卻錯誤地把點(diǎn)B的縱坐標(biāo)理解成了13日當(dāng)日的銷售利潤，從而導(dǎo)致出錯.這種錯誤非常直接地影響了學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，是學(xué)生對函數(shù)圖像理解上的誤區(qū).其中錯誤2（3）也是同樣的原因?qū)е鲁鲥e.

2.信息提取運(yùn)用能力的薄弱

本題作為應(yīng)用問題，用到的基本數(shù)量關(guān)系是：銷售利潤=（售價(jià)-成本價(jià)）×銷售量，這個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系，即使題目條件中不作交代大多數(shù)學(xué)生也都能夠得出.從學(xué)生的解題錯誤來看，主要錯誤還在于對標(biāo)簽中關(guān)于5月份銷售記錄的信息提取時(shí)出現(xiàn)了理解上的偏差.庫存的6萬升油中有4萬升在1～13日以5元/升的單價(jià)銷售完，有1萬升在14～15日以5.5元/升的單價(jià)銷售完，所以到15日時(shí)的銷售利潤應(yīng)由兩部分組成：4+（5.5-4）×1=5.5（萬元）.還有1萬升則在16～31日內(nèi)售完.到31日時(shí)的銷售利潤則應(yīng)由三部分組成：5.5+（5.5-4）×（6-5）+（5.5-4.5）×（10-6）=11（萬元）.從錯誤可以看出，學(xué)生對圖表與文字表述中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)信息提取并運(yùn)用的能力比較薄弱，從而在解題中出現(xiàn)思維漏洞，導(dǎo)致出錯.

五、教學(xué)啟示

1.加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系

本題出現(xiàn)的主要錯誤還是表現(xiàn)在對題意理解的偏差上，學(xué)生在利用一次函數(shù)的知識解決這個(gè)問題的過程中，出現(xiàn)了知識與生活實(shí)際脫節(jié)的現(xiàn)象，這可能與學(xué)生沒有相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，只是單純地從數(shù)學(xué)知識的角度來理解有關(guān).教學(xué)中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，重視數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系，幫助學(xué)生深入理解實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，那么學(xué)生也就能夠走出對題意理解上的誤區(qū).

2.重視培養(yǎng)學(xué)生收集處理信息的能力

本題的信息量較大，學(xué)生在閱讀過程中雖然提取到了解決問題所要用到的相關(guān)數(shù)據(jù)信息，但是在處理這些數(shù)據(jù)信息時(shí)卻出現(xiàn)了錯誤.教學(xué)中，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生收集處理信息的能力，特別是圖表信息處理的能力，有效提取和運(yùn)用圖表信息是數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本素養(yǎng).重視培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從表層信息中提取深層信息，學(xué)會對已有信息進(jìn)行加工處理再生成新信息的能力.

六、試題改進(jìn)建議

本題第（3）問只要直接寫出答案，閱卷過程中發(fā)現(xiàn)有學(xué)生（1）（2）兩問都不會，但卻能夠猜出第（3）問的答案.即使第（2）問解錯，也能把第（3）問猜對.

其中有學(xué)生寫出過程：OA段，5-4=1（元/升）；AB段，5.5-4=1.5（元/升）；BC段，5.5-4.5=1（元/升），所以AB段的利潤率最大.這一過程是錯的，但結(jié)果卻正確.

建議本題第（3）問改為寫出這三段利潤率的大小關(guān)系，這樣可以減少因?yàn)椴麓鸢杆鶐淼牡梅植黄胶?