淺析辯證思想在解決數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)用

湯潔

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有時(shí)學(xué)生們會(huì)為解決一個(gè)問題而手足無措，會(huì)為一個(gè)方程的解法、一個(gè)角的取值或者一個(gè)變量的大小而困惑.這些問題表面上可能被認(rèn)為是計(jì)算能力的欠缺，但實(shí)質(zhì)是一種數(shù)學(xué)思維的缺失，是一種解題思維的不完善.

在數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和形成的過程中，辯證法思想的運(yùn)用是關(guān)鍵所在，辯證法所運(yùn)用的思維模式對(duì)建立數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)答題模式具有導(dǎo)向作用.甚至可以說，是否有辯證思維的意識(shí)決定著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成敗.淺析如下：

一、分清整體和局部，用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)看待和解決數(shù)學(xué)問題

高中數(shù)學(xué)體系是由多個(gè)模塊構(gòu)成的，每個(gè)模塊都是一個(gè)小的知識(shí)體系.通常了解一個(gè)小知識(shí)體系并不是非常困難.但是，如果要真正掌握這個(gè)模塊的知識(shí)就需要與其他模塊的知識(shí)相聯(lián)系.比如，三角函數(shù)與圓錐曲線、函數(shù)與不等式等，都是不同知識(shí)體系之間的相互聯(lián)系.而這種聯(lián)系就是在解題過程中學(xué)生經(jīng)常感到困惑的環(huán)節(jié).

以2009年新課標(biāo)全國(guó)卷（文）12為例：用min{a，b，c}表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值.設(shè)f（x）=min{2瑇，x+2，10-x}（x≥0），則f（x）的最大值為（）.

A.4B.5C.6D.7

在這道題中，包含著最值、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、函數(shù)圖像等知識(shí)點(diǎn)，也只有運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，將幾部分知識(shí)串起來，數(shù)形結(jié)合，在坐標(biāo)系中作出三個(gè)函數(shù)的圖像，再分段選取最小值，再在最小值中選出符合題意的最大值，進(jìn)而求解.

以普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)為基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)模塊之間的聯(lián)系進(jìn)行具體地分析，引導(dǎo)學(xué)生分清整體和局部，對(duì)解題的成功起著決定性的作用.在解決問題的過程中，要承認(rèn)因果聯(lián)系的普遍性和客觀性，正確把握數(shù)學(xué)模塊之間和模塊中的因果聯(lián)系.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用整體和部分相互關(guān)系的原理，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要樹立整體觀念和全局思想，從整體著眼，尋求最佳解題途徑；搞好局部，使整體功能得到最大的發(fā)揮.

二、運(yùn)用發(fā)展的思想來引導(dǎo)學(xué)生深化學(xué)習(xí)效果，解決復(fù)雜問題

每個(gè)模塊的學(xué)習(xí)多是由淺入深，由易入難，在學(xué)習(xí)中，往往會(huì)遇到“瓶頸期”的問題，這是在學(xué)習(xí)時(shí)由質(zhì)變到量變的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，常常有的學(xué)生的分?jǐn)?shù)一直懸在不高不低的位置，與尖子生有不小差距，但又高于普通學(xué)生，而他們所處的位置就是在突破“瓶頸期”的位置，有時(shí)在解決問題時(shí)，這種學(xué)生往往只差一步或者兩步，往往這一兩步是“瓶頸期”前后的體現(xiàn)，在瓶頸期前，可能會(huì)對(duì)某些問題已經(jīng)較為清晰，但在“瓶頸期”會(huì)一知半解，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一種從了解到認(rèn)識(shí)，從認(rèn)識(shí)到遺忘，從遺忘到掌握的螺旋式上升的過程，而并非是直線上升.

以2010年新課標(biāo)全國(guó)卷（文）12為例：已知函數(shù)f（x）=|lgx|，0

-1[]2x+6，x>10，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（）.

A.（1，10）B.（5，6）

C.（10，12）D.（20，24）

該題以分段函數(shù)為背景，屬于分段函數(shù)中較新穎題目，但卻是以一道常見題為基礎(chǔ)改編的.原題是：

①已知函數(shù)f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），則a和b的關(guān)系為ab=1.

題①的解法為：分段討論去掉絕對(duì)值后，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知a和b必為一個(gè)大于1，另一個(gè)在0和1之間，故得lga=-lgb，從而得解.而以①為基礎(chǔ)改編的高考題，用發(fā)展的思想來看，是在原題的基礎(chǔ)上將函數(shù)變?yōu)槿危以黾恿艘粋€(gè)變量.將a，b還看作原題中的a和b，即可得ab=1.再數(shù)形結(jié)合得出f（c）的范圍，進(jìn)而得c的范圍即得解.

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的眼光看問題，而不是拘泥于眼前所出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn).

三、運(yùn)用矛盾的觀點(diǎn)，對(duì)立統(tǒng)一中把握數(shù)學(xué)

有些學(xué)生往往在出錯(cuò)后會(huì)說大意失荊州，也就是在細(xì)節(jié)上出錯(cuò).這些看似細(xì)小的問題，卻很影響做題的結(jié)果和思維品質(zhì)的形成.有些學(xué)生在解題時(shí)只記成題而忽略本質(zhì)的概念，或者記概念而不知概念因何而來.而在高考這種選拔性考試中，試題往往與成題相異，甚至是背道而馳，但卻始終圍繞著核心的概念.在這類考試中往往“知甚解”的學(xué)生有很大的優(yōu)勢(shì).這就說明，不論是核心知識(shí)還是細(xì)節(jié)問題都是非常重要的，而矛盾分析法的運(yùn)用可以解決此類問題.

以2010年新課標(biāo)全國(guó)卷（文）16為例：在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BD，AD=2，∠ADB=135°.若AC=2AB，則BD=2+5.

這道題主要考查三角函數(shù)、解三角形的知識(shí).此題計(jì)算量較大，而且邊角關(guān)系較為復(fù)雜，需要步步為營(yíng)，在解題過程中注意提取關(guān)鍵信息，抓住求BD的關(guān)鍵邊角，進(jìn)而運(yùn)用正余弦公式得出BD長(zhǎng)度，求出答項(xiàng).

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生牢記知識(shí)點(diǎn)并弄清知識(shí)的本來面目，堅(jiān)持一分為二的矛盾分析方法.既把握核心知識(shí)又要兼顧細(xì)節(jié)問題.并且在解題中要敢于承認(rèn)矛盾、揭露矛盾，善于分析矛盾；堅(jiān)持兩分法，一分為二地看問題，防止片面性.不能有成題思想和固定不變的解題模式，反對(duì)“一刀切”.運(yùn)用矛盾分析法把握整體數(shù)學(xué).

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)融入辯證思想，將思維與實(shí)踐相結(jié)合，總結(jié)出解題規(guī)律和解題思想，在思維上占得解題先機(jī)，在解題時(shí)運(yùn)用矛盾分析法規(guī)范步驟和邏輯，用哲學(xué)方法論指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)踐，才能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有章有法.