數學解題，“1”馬當先

桑婭潔

【摘要】在數學解題中，恰當、靈活地運用“1”的代換，往往能使解題過程省時省力，達到出奇制勝、事半功倍的效果.本文通過舉例談談“1”的代換在復數、三角函數及求最值方面的妙用.

【關鍵詞】高中數學；“1”的代換；例析

一、在復數中的應用

在復數運算中，考慮到1=-i2，往往能大大簡化我們的解題.

例1 （2011年全國新課標理）復數2+i[]1-2i=.

解 2+i[]1-2i=-2i2+i[]1-2i=i（1-2i）[]1-2i=i.

注 一般地，對于a，b∈R，-b+ai[]a+bi=i2b+ai[]a+bi=i（a+bi）[]a+bi=i.

例2 已知a2+2ab+b2+a2b2[]a+b+abi=27-8i[]3+2i，求實數a，b的值.

解 a2+2ab+b2+a2b2[]a+b+abi=（a+b）2-a2b2i2[]a+b+abi=（a+b+abi）（a+b-abi）[]a+b+abi=a+b-abi.

27-8i[]3+2i=（27-8i）（3-2i）[]（3+2i）（3-2i）=（81-16）-（54+24）i[]9+4=65-78i[]13=5-6i.

根據兩個復數相等的充要條件，可得

a+b=5，

ab=6.

解得a=3，

b=2，或a=2，

b=3.

二、在三角函數中的應用

例3 （2009年陜西理）若3sinα+cosα=0，則1[]cos2α+sin2α的值為.

分析 若先利用平方關系求出sinα，cosα的值，再代入計算，則過于煩瑣.由1=sin2α+cos2α，可將1[]cos2α+sin2α化為關于sinα，cosα的齊二次式，進一步利用已知條件中sinα與cosα的關系將問題解決.

解 由3sinα+cosα=0，得cosα=-3sinα.

1[]cos2α+sin2α=sin2α+cos2α[]cos2α+2sinαcosα=sin2α+9sin2α[]9sin2α-6sin2α=10sin2α[]3sin2α=10[]3.

例4 求值：1+tan15°[]1-tan15°.

分析 由1=tan45°及原式的結構特點，考慮運用兩角和的正切公式.

解 1+tan15°[]1-tan15°=tan45°+tan15°[]1-tan45°tan15°=tan（45°+15°）=tan60°=3.

三、在求最值中的應用

例5 （2011年重慶理）已知a>0，b>0，a+b=2，則y=1[]a+4[]b的最小值是.

解法1 y=1[]a+4[]b=a+b[]2a+2（a+b）[]b=1[]2+b[]2a+2a[]b+2=b[]2a+2a[]b+5[]2≥2+5[]2=9[]2，

當且僅當b[]2a=2a[]b，即a=2[]3，b=4[]3時，取等號.

故y=1[]a+4[]b的最小值是9[]2.

解法2 y=1·1[]a+4[]b=a+b[]21[]a+4[]b=1[]2+b[]2a+2a[]b+2.

下同解法1.

注 利用同樣方法，我們可以得到如下一般性結論：

已知x，y>0，常數a，b，c，d>0，且ax+by=1，則y=c[]x+d[]y有最小值（ac+bd）2.

證 y=1·c[]x+d[]y=（ax+by）c[]x+d[]y=adx[]y+bcy[]x+ac+bd≥2abcd+ac+bd=（ac+bd）2.

例6 （2011年浙江理）設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是.

解 由4x2+y2+xy=1，得1[]2x+y2+15[]2x2=1.

設1[]2x+y=cosθ，15[]2x=sinθ，

則x=2[]15sinθ，y=cosθ-1[]15sinθ，

2x+y=4[]15sinθ+cosθ-1[]15sinθ=3[]15sinθ+cosθ=2[]510sin（θ+φ）.

故2x+y的最大值是2[]510.