談數學解題中的構造法

陳東磊

摘要： 數學方法是對數學知識在更高層次上的抽象和概括.構造法是以已知條件為原料，以所求答案為方向，構造出一種人們更為熟悉的數學形式，把原本“山重水復疑無路”的局面變成“柳暗花明又一村”的景象，使得問題在新的形式下得到快捷的解決——用他山之石予以攻玉.構造法的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化不熟悉為熟悉.這也是解答數學問題的共性之所在.通過巧妙地使用構造法解答數學問題，能夠激發學生的發散思維，對培養學生的多元化思維和創新精神大有裨益.

關鍵詞： 構造法構造方程構造函數構造數列數學模型

“構造法”指的是為解決數學問題時要先構造一種數學形式（比如幾何圖形、代數式、方程，等等），以此來尋求問題中的某種內在聯系，使問題變得簡單明了，從而起到了化簡、轉化和橋梁的作用，進而找到解決問題的思路、方法.歷史上不少數學家，如柯西、歐幾里得、歐拉、費馬、拉格朗日等人，都曾經用構造法成功地解決過數學上的難題.運用構造法解題是培養創造性思維能力的一種有效方法.下面我簡單地舉例分析構造法在數學解題中的應用.

一、“構造法”在構造方程中的運用

例1：已知=1（a，b，c∈R），給出下列關于a、b、c的關系式：①b＞4ac；②b≥4ac；③b＜4ac；④b≤4ac.其中正確的是?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

分析過程：將已知的關系式整理為：a·（）-b·+c=0，這是一個根為的一元二次方程ax-bx+c=0，于是△=b-4ac≥0，故正確的是②.

總結：構造方程是解數學問題的常用方法，根據數量關系，如例1中關注到7=（），從而聯想構造一元二次方程，這樣就在已知與待求之間搭上了橋梁，使解答更簡潔、合理.

二、構造法在構造函數中的運用

解答證明柯西不等式時，構造一個二次函數首先有2n個數b，b，b，…，b和a，a，a，…，a，構造函數：當n=1時，f（x）=ax+2abx+b；當n=2時，f（x）=ax+2abx+b，由此類推n個相加得到f（x）=（a+a+…+a）x+2（ab+ab+…+ab）x+（b+b+…+b）.因為f（x）≥0恒成立，所以f（x）的判別式△≤0，即（ab+ab+…+anb）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），柯西不等式證明完畢.

數學構造法在高中是很常見的，構造函數常用來證明不等式.

三、“構造法”在求數列通項中的應用

例：若數列{a}中，a=3且a=a（n是正整數），則它的通項公式是a=?搖?搖?搖?搖.

解：由題意知a＞0，將a=a兩邊取對數得lg a=2lg a，即=2，所以數列{lg a}是以lg a=lg 3為首項，公比為2的等比數列，lg a=lg a·2=lg 3，即a=3.

求數列的通項公式是高考重點考查的內容，作為常見的等差數列或等比數列可直接根據它們的通項公式求解，但也有一些非等比等差數列要通過構造才形成等差數列或等比數列，之后再應用相應的通項公式求解，進而求出原數列通項公式.

四、構造代數式在計算中的妙用

小學奧數競賽中有一種速算.其中對一些特殊數字的計算，符合“同頭尾湊十”的兩位數乘法，要求快速給出答案.比如33×37=1221，42×48=2016等.這個積的前兩位是原兩位數的十位數字與比這個十位數字大1的數的積，后兩位是原兩位數兩個個位數字的積.小學生會對這樣的“神算”感到驚奇，無法理解其中的道理.其實，到了初中，利用構造代數式，進行變形化簡，可以很容易地解釋其中的道理.

假設其中一個兩位數的十位數字為a，個位數字為b，則這兩個兩位數分別為“10a+b”和“10a+（10-b）”；兩數的積為（10a+b）（10a-b+10）=100a-b+100a+10b=100a（a+1）+b（10-b）.得證.

以上是以代數式的變形來幫助學生解釋一些疑問.

五、構造幾何圖形

對于條件和結論之間聯系較隱蔽問題，要善于發掘題設條件中的幾何意義，通過構造適當構造出幾何圖形讓兩者聯系起來，從而把代數問題轉化為幾何問題來解決，增強問題的直觀性，使問題的解答事半功倍.

例4：已知|x-1|+|x-5|=4，則x的取值范圍是（?搖?搖?搖?搖）

A.1≤x≤5?搖?搖?搖?搖B.x≤1?搖?搖?搖?搖C.1＜x＜5?搖?搖?搖?搖D.x≥5

分析：根據絕對值的幾何意義可知：|x-1|+|x-5|=4表示數軸上到1與5的距離之和等于4的所有點所表示的數.如圖3，只要表示數的點落在1和5之間（包括1和5），那么它到1與5的距離之和都等于4，所以1≤x≤5，故選A.

綜上所述，構造法是一種富有創造性的解題方法，它很好地體現了轉化與化歸的數學思想，滲透著猜想、試驗、歸納等數學方法.構造法除了要注重基礎知識和基本思想的落實，還要求我們敢于打破常規，注重知識前后之間的聯系與遷移、新舊知識之間的類比與轉化.

構造法在數學問題的解決中，不僅顯得靈活、簡便，而且往往是發現問題，找到解決問題途徑、方法的鑰匙.在平時教學中，學生在掌握基礎知識之余，應加強啟發式的教學.我們可從多角度啟發學生思維多變，從而培養學生的發散思維和創新能力.

參考文獻：

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