微積分的應用

楊昌海

摘要： 微積分是微分學和積分學的合稱，產生于17世紀后半期，基本完成于19世紀，它不僅是分析學的基礎部分，而且是現代數學的基礎部分，在各領域中有著廣泛應用.本文主要研究微積分在力學、經濟、幾何方面的應用.

關鍵詞： 微積分泰勒公式應用

1.（帶皮亞諾型余項的）泰勒公式其應用

定理若f（x）在x=0點有直到n+1階連續導數，那么

f（x）≈f（0）+f′（0）x+x+…+x+R（x）

R（x）=0（x）

這就是函數f（x）在x=0點附近關于x的冪函數展開式，也叫泰勒公式，式中R（x）叫做皮亞余項.

下面舉例說明帶皮亞諾型余項的泰勒公式的應用.

例1.求

解：由于cosx=1-++0（x）

e=1+（-）+（-）+0［（-）］=1-++0（x）

從而cosx-e=-+0（x）

于是===-

2.在微分方程中的應用

例2.設函數f（u）具有連續導數，而z=f（esiny）滿足+=ez，求f（u）.

分析：設z=f（u），u=esiny，用一個中間變量代替兩個自變量.

解:設z=f（u），u=esiny，則=f′（u）=f′（u）esiny

=f″（u）esiny+f′（u）esiny，=f′（u）ecosy

=f″（u）ecosy-f′（u）esiny

+=f″（u）esiny+f″（u）ecosy=f″（u）e=ez

即得f″（u）-f（u）=0，這是關于未知函數f（u）的二階常系數線性齊次微分方程.

特征方程：r-1=0，r=-1，r=1，通解為f（u）=ce+ce.

3.積分在幾何中的應用

例3.求橢圓+=1所圍成圖形的面積.

解：因為橢圓關于兩坐標軸都對稱，所以橢圓面積應等于其第一象限面積的四倍.這樣，橢圓面積A=４ydx=4dx=4bdx

用換元法，令x=asint，則dx=acostdt.且x=0時t=0；x=a時t=，從而

A=4abcostdt=4abcostdt

=2ab（1+cos2t）dt=2ab=πab

4.在經濟中應用最大利潤問題

例4.某公司投資2000萬元，建成一條生產線，投產后，其追加成本和追加收入（分別是成本函數和收入函數對時間t的變化率，類似于邊際函數概念）分別為G（t）=5+2t（百萬元/年）Φ（x）=17-t（百萬元/年）.試確定該生產線使用多長時間停產可使公司獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解：容易看出，追加成本G（t）是單調增函數而追加收入Φ（x）是單調減函數，這說明生產費用在逐年增加，而生產收入在逐年減少，二者之差即為生產利潤隨時間的變化率：

G（t）-Φ（x）=17-t-5+2t=12-3t

與邊際成本和邊際收入的關系相同，這里生產利潤的最大值在的必要條件也是G（t）=Φ（x）.

解之得t=8，由于生產利潤對時間的二階導數=［Φ（x）-G（t）］′=-2t＜0，因此上述t=8是生產利潤的最大值點.這樣，生產利潤的最大值（單位：百萬元）為

［Φ（x）-G（t）］dt-20=12-3tdt-12

=38.4-20=18.4百萬元

即生產線應用在使用8年后停產，此時公司總利潤為1840萬元.