類比法在數學教學中的應用

彭端英

摘要： 類比是我們推廣數學概念、拓展數學命題、探究解題思路、進行數學猜想和思維創(chuàng)新的重要推理方法，它是從個別到個別，或者說是從特殊到特殊的推理。類比推理能啟迪人們的思維，促進人們的聯想，從而可以擴大人們的視野，開拓人們的認識。它是一種創(chuàng)造性思維方法，在發(fā)現科學事實及提出科學假說方面有著重要的作用。

關鍵詞： 類比法歸納推理演繹推理數學教學

類比是數學猜想和思維創(chuàng)新的指南針。在自然科學發(fā)展史上，無論古代、近代，還是現代，類比在科學發(fā)現中都是一種被普遍應用的方法。類比方法的應用是隨著科學思維水平的提高而不斷發(fā)展的。這種發(fā)展具體表現在：從簡單到復雜，從靜態(tài)到動態(tài)，從定性到定量的發(fā)展。

一、類比

1.類比的涵義

所謂類比是這樣的一種推理，它把不同的兩個（兩類）對象進行比較，根據兩個（兩類）對象在一系列屬性上的相似，而且已知其中一個對象還具有其他的屬性，由此推出另一個對象也具有相似的其他屬性的結論。簡稱類推、類比。它是科學研究中常用的方法之一。

類比是一種推理方法，根據兩種事物在某些特征上的相似，做出它們在其他特征上也可能相似的結論。

?誗相似或相同屬性是推理的依據，即為前提。

?誗推出兩個事物的其他屬性相似或相同，即為推理結論。

?誗例如：

2.類比法的優(yōu)勢

*類比法不限于同類事物中比較

*類比法不限于事物的個數多少

*類比法可以比較本質特征也可以比較非本質特征

3.類比法的模式表式

M對象有a、b、c、d屬性

N對象有a、b、c屬性或a′、b′、c′屬性（表示相同或相似）

所以N對象可能有d或d′屬性

上述的“M”、“N”是指不同的對象：或是指不同的個體對象，比如地球與太陽；或是指不同的兩類對象，比如植物類與動物類；或是指不同的領域，比如宏觀世界與微觀世界。類比推理的應用場合是多種多樣的，有時也可以把某類的個體對象與另—類對象進行類比，例如，為了弄清某種新藥物在人類身上的效用和反應如何，往往是用某類動物個體來做試驗，然后通過類比求得答案。

4.類比結論都是正確的嗎？

答案是否定的。

如果前提中確認的共同屬性很少，而且共同屬性和推出來的屬性沒有什么關系，這樣的類比推理就極不可靠。這種類比稱為機械類比。

類比的結論是或然的。類比的結論之所以具有或然性主要是由于以下兩方面的原因；一方面是因為對象之間不僅具有相同性，而且具有差異性。就是說，M，N兩對象盡管在一系列屬性（a、b、c）上是相似的，但由于它們是不同的兩個對象，總還有某些屬性是不同的。如果d屬性恰好是M對象異于N對象的特殊性，那么我們作出N對象也具有d屬性的結論，便是錯誤的。例如，地球與火星盡管它們在一系列屬性上是相似的（太陽系的行星，存在著大氣層，適于生命存在的溫度，等等），但是地球上有生物，能不能說火星上也有生物呢?不能，因為火星還有不同于地球的特殊性。近年來航天的科學考察表明，火星上并未發(fā)現什么生物。另一方面，對象中并存的許多屬性，有些是對象的固有屬性，有些是對象的偶有屬性。比如，血液循環(huán)是人體的固有屬性，而吃了雞蛋產生過敏反應，這是個別人身上的偶有屬性。如果作出類推的d屬性是某一對象的偶有屬性，那么另一對象很可能就不具有d屬性。

類比，作為一種推理方法，它是通過比較不同對象或不同領域之間的某些屬性相似，從而推導出另一屬性也相似。它既不同于演繹推理從一般推導到個別，又不同于歸納推理從個別推導到一般，而是從特定的對象或領域推導到另一特定對象或領域的推理方法。

盡管類比推理可以在某類個體對象與另一類對象之間進行，但是類比推理卻不能在某類與該類所屬的個別對象之間進行。如果以為類比推理是歸納推理和演繹推理的壓縮，那就錯了。類比推理只能在兩個不同對象或不同領域中進行過渡。

有人認為存在著這樣一種類比推理：

S類的某一個體具有屬性a，b，c，d。

S類具有屬性a，b，c。

所以，S類具有屬性d。

這種觀點是錯誤的，因為這是憑主觀想象用類比推理的模式去描述了一個實際上是歸納概括的邏輯過程。誠然，無論是歸納推理還是類比推理都是已有知識的外推和擴展。但是不能因此而混淆了兩種推理方法之間的根本區(qū)別：歸納推理是從個別（特殊）概括到一般，而類比推理是從某一特定的對象或領域外推到另一個不同的特定的對象或不同的領域。

還有人認為有這樣一種類比推理：

S類對象具有屬性a，b，c，d。

S類的某一個體對象具有屬性a，b，c。

所以，S類的某一個體對象具有屬性d。

這種觀點同樣也是錯誤的，因為這是憑主觀想象用類比推理的模式去描述了一個實際上是演繹的邏輯過程，演繹推理是從一般推出個別（特殊），而類比卻是從某一特定對象或領域外推到另一個特定對象或領域的。這種根本區(qū)別不能混淆。

二、類比在數學教學中的應用

數學類比：數學解題與數學發(fā)現一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題的結論或解決方法的猜想，然后設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的。類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法。

在中學數學教學過程中，如定義、定理、推導公式、證明等，我們常常會有些“似曾相識”的感覺。如果把“似曾相識”的東西進行比較，加以聯想，可能就會出現許多意想不到的結果和方法。這種“把類似進行比較、聯想，由一個數學對象已知的特殊性質遷移到另一個數學對象上去，從而獲得另一個數學對象的性質”的思維方法就是類比法。

1.公式、定理等形式上類比聯想

實踐證明這是正確的。

長方形與長方體有很多屬性相同：對邊互相平行，鄰邊互相垂直。

其性質類比聯想：長方形對角線的平方等于長和寬的平方和。

?陴長方體對角線的平方等于長、寬、高的平方和。

同理：柱體與矩形相似、錐體與三角形相似，臺體與梯形相似，故進一步類比聯想：

立體幾何知識是平面幾何知識的發(fā)展和推廣，在公式計算，解題方法上有很多相通之處，故立體幾何問題往往轉化為平面幾何問題來解決。

2.運算、方法等實質上類比聯想

用字母來表式數就有了式，故在加、減、乘、除、通分、約分等運算法則上數與式是相似的。這給我們解決問題帶來了很大的方便。

例：多項式除以多項式

問題：填空：（）（2x+1）=6x+7x+2

這個問題實際上求（6x+7x+2）÷（2x+1）=？

用豎式計算：21 類比 2x+1

用多項式乖法可證明這是正確的。

3.學思路上類比的助發(fā)現作用

類比還常常被用于解釋新的理論和定義，它具有助發(fā)現作用，當新理論剛提出之時，必須通過類比用人們已熟悉的理論去說明新提出的理論和定義，這就是類比助發(fā)現作用的表現。在科學發(fā)現中，類比的這種助發(fā)現作用是不可忽視的。

例如：觀察（1）=2（2）=3

形式上：左式是和取根式，右式是數乘根式，且數字位置不變。即有

=a

可證明成立：===a

這是一個由特殊到一般的過程，很妙的。可是朋友們，再想想還有更妙些的嗎？由推導過程我們還可發(fā)現分數指數與根指數有關。可進一步推廣到下式成立：

=a

它是從個別到個別，或者說是從特殊到特殊的推理。類比推理能啟迪人們的思維，促進人們的聯想，從而可以擴大人們的視野，開拓人們的認識。它是一種創(chuàng)造性思維方法，在發(fā)現科學事實及提出科學假說方面有著重要的作用。類比是我們推廣數學概念、拓展數學命題、探究解題思路、進行數學猜想和思維創(chuàng)新的重要推理方法。

還有如：等差數列與等比數列（僅一字之差），無論是定義上，還是性質上、解題方法上都是非常相似的，因此在教學上教師可以利用類比的方法去引導學生。在學習新知識時，通過對已學知識的回憶類比，給學生創(chuàng)造最佳的思維環(huán)境，引導學生猜想出新授知識的內容、論證的思想方法，激發(fā)學習積極性，變被動接受為主動學習。

4.類比推理在圖形推導上的應用

△ABC的周長為l，內切圓O的半徑為r，連接OA，OB，OC，△ABC被劃分為三個小三角形，用S表示的△ABC面積（可作為三角形內切圓半徑公式）。

S=S+S+S=AB·r+BC·r+CA·r=lr

（1）理解與應用：利用公式計算邊長分別為5、12、13的三角形內切圓半徑；

（2）類比與推理：若四邊形ABCD存在內切圓（與各邊都相切的圓）且面積為S，各邊長分別為a，b，c，d，試推導四邊形的內切圓半徑公式；

（3）拓展與延伸：若一個n邊形（n為不小于3的整數）存在內切圓且面積為S，各邊長分別為a，a，a，…a，合理猜想其四邊形的內切圓半徑公式。

解：（1）S=×5×12=30

30=lr

r=2

（2）r=2S/（a+b+c+d）=lr

（3）r=2S/（a+a+a+…+a）=lr

5.條件判定上的類比推理

例：（2010年南京）學習“圖形的相似”后，我們可以借助探索兩個直角三角形全等的條件所獲得的經驗，繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件。

（1）“對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，兩個直角三角形全等”類似地，可以得到：“滿足一銳角對應相等，或兩直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似”。

（2）“滿足斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”，可以得到：“滿足斜邊和一條直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似”。

證明略。事實證明這些結論正確的。

三、合理性原則

為了使類比在科學發(fā)現中發(fā)揮有效的作用，人們進行類比推理時應當注意以下原則。

第一，類比所根據的相似屬性越多，類比的應用也就越為有效。這是因為兩個對象的相同屬性越多，意味著它們在自然領域（屬種系統(tǒng)）中的地位也是較為接近的。這樣去推測其他的屬性相似也就有較大的可能是合乎實際的。

第二，類比所根據的相似屬性之間越是相關聯的，類比的應用也就越為有效。因為類比所根據的許多相似屬性，如果是偶然的并存，那么推論所依據的就不是規(guī)律的東西，而是表面的東西，結論就不大可靠了。如果類比所依據的是現象間規(guī)律性的東西，不是偶然的表面的東西，那么結論的可靠性程度就較大。

第三，類比所根據的相似數學模型越精確，類比的應用也就越有成效。因為只有在精確的數學模型之間作出類比，才能把其中相關的元素分別地準確地對應起來，才能較為有效地作出新的發(fā)現。

參考文獻：

［1］類比.百度百科.

［2］郭思樂，劉遠圖.中學數學教學.光明日報出版社，1987.

［3］王鋒.江蘇：少年智力開發(fā)報，（第49期）.