例析數(shù)形結(jié)合的妙用

袁亞娟

通過(guò)消元（如消去y），得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式的取值情況來(lái)判斷方程組的解的情況，可以得到圓錐曲線之間的位置關(guān)系。

前幾天，碰到這樣一題：若雙曲線-與圓x2+y2=1無(wú)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。我也沒在意，叫了個(gè)學(xué)生給他分析：這道題目的常規(guī)做法就是聯(lián)立兩條曲線的方程得到方程組，通過(guò)消元得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式的取值情況來(lái)得到實(shí)數(shù)k的取值范圍。解法如下：

解法1：聯(lián)立方程組-=1 (1)x2+y2=1 (2)，由（2）y2=1-x2代入（1），整理得：13x2-36k2-9=0（3）。因?yàn)楦呐袆e式△=4?13?（36k2+9）>0恒成立，所以方程（3）對(duì)k∈R都有解，雙曲線與圓始終有交點(diǎn)。結(jié)論：不存在實(shí)數(shù)k使得雙曲線與圓無(wú)交點(diǎn)。

解法2：聯(lián)立方程組-=1(1)x2+y2=1(2)，由（2）x2=1-y2代入雙曲線（1），整理得：13y2+36k2-4=0（3）。根的判別式△=-4?13?(36k2-4)，因?yàn)殡p曲線與圓無(wú)交點(diǎn)，所以△=-4?13?(36k2-4)<0，即k2>。解得當(dāng)k<-或k>時(shí)，雙曲線和圓無(wú)交點(diǎn)。

兩種類似的解法，但卻得到了兩種截然不同的答案。學(xué)生們來(lái)了興趣。有學(xué)生發(fā)現(xiàn)-=1(1)x2+y2=1(2)，由（1）得=-1，并非x值存在，y值就一定存在。只有當(dāng)-1≥0，即x2≥9k2時(shí)，y值才存在，此時(shí)方程（3）的兩根應(yīng)滿足x1≤-3k或x2≥3k；而在（2）中x和y的取值也是有限制的，即x≤1,y≤1。可見，在解法1中不考慮方程(3)的根應(yīng)滿足的條件，僅根據(jù)方程(3)的判別式恒大于0，就斷定兩條曲線恒有交點(diǎn)的做法是有問(wèn)題的。我們必須參照(1)中根的范圍確定k的取值。

學(xué)生修改如下：由方程（1）可知,當(dāng)x2≥9k2時(shí)，y值存在，由方程（2）可知，若y值存在時(shí)，x2≤1；反之，若x2>1時(shí)，y值不存在。故當(dāng)9k2>1即x2≥9k2>1時(shí)，y值不存在，此時(shí)兩曲線的交點(diǎn)就不存在了。因此，得到正確結(jié)論：當(dāng)k<-或k>時(shí)，雙曲線（1）與圓（2）的交點(diǎn)不存在。我問(wèn)，還有其他方法嗎？有學(xué)生回答用數(shù)形結(jié)合法。

解法3：先在坐標(biāo)系中畫出雙曲線-=1（1）與圓x2+y2=1（2）的圖像。

如圖所示（圖略），雙曲線只在頂點(diǎn)（-3k，0）左側(cè)和頂點(diǎn)（3k，0）的右側(cè)有圖像，可見雙曲線中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都滿足x≤-3k或x≤3k；而圓（2）中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都滿足-1≤x≤1。所以,當(dāng)-3k<-1，3k>1，即k<-或k>時(shí)雙曲線與圓沒有交點(diǎn)。

有學(xué)生驚呼：數(shù)形結(jié)合真奇妙，又快又準(zhǔn)確。

隨后，我讓學(xué)生們總結(jié)：一是遇題多動(dòng)腦筋，二是數(shù)形結(jié)合法我們應(yīng)該時(shí)常想到它，可能會(huì)給我們帶來(lái)意想不到的效果。

（張家港職業(yè)教育中心校）