例析圓錐曲線中的最值問題

劉曉霞

圓錐曲線是解析幾何的難點，圓錐曲線中的最值問題又是圓錐曲線中的難點，一直是同學們比較頭痛的問題。通過多年的解題積累，本文結合例題，幫同學們分析了五種常用的方法。

一、利用準線求最值

例1：p為橢圓+=1上一動點，A(1,1)為橢圓內一定點，F為橢圓的右焦點，則PA+2PH的最小值為（ ），PA+PF的最大值為（）。略解：1）設P到右準線X==4的距離為PH，因為=e=，所以，2PF=PH,即：PA+2PF=PA+PH，當A,P,H三點共線時PA+2PF的值最小。PA+2PF的最小值為3。2）PA+PF=PA+2a-PF1=4+PA-PF1，只要求PA-PF1的最大值， 當P,F1,A三點共線時PA-PF1取最值。PA-PF1的最大值為AF1=。評：利用準線求最值，其模式為PA+PF，將 PF轉化為 P到準線的距離。

二、三角換元求最值

例2：橢圓+=1上的點到直線l:x+y-8=0的最小距離是 （）。略解：設x=2cos?茲,y=sin?茲則橢圓上點p(2cos?茲,sin?茲)到直線l的距離為d==，當cos(?茲+?漬)=-1時d取最小值。評：三角換元在橢圓和圓的相關題目中運用起來比較靈活。（例2也可以用切線求最值）。

三、利用切線（數形結合）求最值

例3：拋物線y=-x2+2上的點到直線l:x+y-8=0的最小距離是（）。提示：設直線l1:x+y+b=0與拋物線y=-x2+2相切， x+y+b=0y=-x+2?圯x-x-b-2=0，△=1+4(b+2)=0?圯b= ，所以，l1:x+y-=0。所求的最小距離為直線l1與l之間的距離d==。評：切線法對于求拋物線上的點到直線的距離或者求橢圓到直線的距離比較適合。

四、利用焦半徑求最值

例4：橢圓+=1的左右焦點分別為F1,F2，P為橢圓上的點，K=PFPF，則k的最大值為（），最小值分別為（）。略解：設p(x,y)，根據焦半徑公式PF=a+ex,PF=a-ex,可得PFPF=a2-e2x2=4-x2(0?埕x2?埕4)，PFPF的最大值為4，最小值為2. 評：左焦半徑PF=a+ex1,右焦半徑PF=a-ex1，可以點間距離轉化為關于x的函數，利用函數的性質求最值。

五、利用二次函數求最值

例5：p為橢圓+y2=1上一動點，A(m,0)，則PA的最小值為 （ ）。解略，請同學們自己思考。

（張家港職教中心校）