GM(1,1)模型在遙測(cè)緩變參數(shù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

金球星

摘 要:飛行器飛行試驗(yàn)中,遙測(cè)數(shù)據(jù)難免丟失。為了試驗(yàn)結(jié)果分析需要,有必要根據(jù)已獲取的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)丟失數(shù)據(jù)。一些變化趨勢(shì)穩(wěn)定的緩變參數(shù)滿足GM(1,1)模型的適用要求,實(shí)例計(jì)算表明預(yù)測(cè)效果良好。

關(guān)鍵詞:灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型遙測(cè)數(shù)據(jù)

中圖分類(lèi)號(hào):TP7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-098X(2012)06(a)-0002-02

1 引言

飛行器飛行試驗(yàn)過(guò)程中,各類(lèi)參數(shù)的數(shù)據(jù)通過(guò)遙測(cè)系統(tǒng)發(fā)回地面。遙測(cè)信號(hào)不可避免受到各種干擾而導(dǎo)致失鎖、丟幀、誤碼等現(xiàn)象,最終造成數(shù)據(jù)丟失。為了試驗(yàn)結(jié)果分析需要,有必要根據(jù)已獲取的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)丟失數(shù)據(jù)。

由鄧聚龍教授于1982年創(chuàng)立的“灰色系統(tǒng)理論”是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息的不確定性問(wèn)題的新方法。其研究對(duì)象是“部分信息已知,部分信息未知”的“小樣本、貧信息”的不確定性系統(tǒng),并通過(guò)對(duì)部分已知信息的生成、開(kāi)發(fā),幫助人們了解、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界,實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為和演化規(guī)律的正確把握和描述。數(shù)列預(yù)測(cè)是灰色系統(tǒng)理論的一個(gè)重要應(yīng)用方面,其中最常用的預(yù)測(cè)模型是,該模型在諸多領(lǐng)域得到使用。[1,2]

飛行器在飛行過(guò)程中受到眾多難以準(zhǔn)確描述的因素的影響,可以認(rèn)為是“部分信息已知,部分信息未知”的“灰色系統(tǒng)”。一些變化趨勢(shì)穩(wěn)定的緩變類(lèi)參數(shù)的數(shù)據(jù)滿足GM(1,1)模型的適用要求范圍[3]。

2 GM(1,1)模型介紹

2.1 預(yù)測(cè)值計(jì)算

GM(1,1)是最常用、最簡(jiǎn)單的一種灰色模型,它是由一個(gè)只包含單變量的微分方程構(gòu)成的模型。

設(shè)已知某參數(shù)的歷史原始數(shù)據(jù)序列為,且序列總體呈現(xiàn)單調(diào)變化趨勢(shì),各因子數(shù)值同極性,通過(guò)1次累加運(yùn)算后生成的數(shù)據(jù)序列為 ,式中 。則定義的灰導(dǎo)數(shù)為 (即原始數(shù)據(jù))。令為數(shù)列的均值數(shù)列,即 ,則 。于是定義GM(1,1)的灰微分方程模型為,即

(1)

其中稱(chēng)為灰導(dǎo)數(shù),稱(chēng)為發(fā)展系統(tǒng),稱(chēng)為白化背景值,稱(chēng)為灰作用量,將時(shí)刻代入上式中有

(2)

令

稱(chēng)為數(shù)據(jù)向量,為數(shù)據(jù)矩陣,為參數(shù)向量,則GM(1,1)可以表示為矩陣方程。如果存在,由最小二乘法則有

(3)

對(duì)式(1)進(jìn)行“白化默認(rèn)”,得到GM(1,1)的灰微分方程對(duì)應(yīng)的白化微分方程為

(4)

代入數(shù)據(jù)求解該方程(最小二乘法)得

(5)

對(duì)上式進(jìn)行一階累減還原計(jì)算,可得到原始數(shù)列的灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型為

(6)

從上述灰微分方程與白化微分方程的建立過(guò)程可以看出,數(shù)列對(duì)應(yīng)著某個(gè)狀態(tài)變量,數(shù)列對(duì)應(yīng)著該狀態(tài)變量的變化速率。例如,已獲取某個(gè)時(shí)段飛行器滾動(dòng)角參數(shù)的數(shù)據(jù)序列 ,需要去預(yù)測(cè)該參數(shù)的未來(lái)數(shù)據(jù),則在建立模型時(shí),取

2.2 預(yù)測(cè)值檢驗(yàn)

令殘差為,計(jì)算

(7)

如果,則可認(rèn)為達(dá)到一般要求;如果,則認(rèn)為達(dá)到較高的要求。

3 數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)計(jì)算步驟

①若獲取某參數(shù)x的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè) ,若描述狀態(tài)變化量,則若描述狀態(tài)變量,則 ,通過(guò)建立預(yù)測(cè)模型計(jì)算出 的預(yù)測(cè)值 。

②計(jì)算殘差,殘差均值,若,則認(rèn)為原始數(shù)據(jù)滿足使用模型的前提,能較準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未來(lái)數(shù)據(jù);否則認(rèn)為原始數(shù)據(jù)不滿足使用模型的前提。

4 預(yù)測(cè)實(shí)例

為了說(shuō)明GM(1,1)模型在飛行器緩變參數(shù)預(yù)測(cè)中的合理有效,選取某次飛行器試驗(yàn)中滾動(dòng)角參數(shù)的10個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算說(shuō)明,10個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)為x={1.7580,1.9800, 2.2020,2.4180,2.6340,2.8440,3.0360,3.2160,3.3780,3.5160}(單位:度)。以1～8個(gè)數(shù)據(jù)作為計(jì)算數(shù)據(jù),后兩個(gè)數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)。

傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法通常觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性增長(zhǎng)趨勢(shì),作線性回歸可得,可得預(yù)測(cè)值 ,預(yù)測(cè)值的誤差為 。

使用GM(1,1)模型預(yù)測(cè)計(jì)算過(guò)程與結(jié)果如下:

根據(jù)式(6)計(jì)算出滾動(dòng)角的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值為

根據(jù)式(7)計(jì)算殘差

,都遠(yuǎn)小于0.1。預(yù)測(cè)值的誤差為

,遠(yuǎn)低于線性回歸預(yù)測(cè)的誤差。

從實(shí)例計(jì)算可以看出,使用GM(1,1)模型預(yù)測(cè)變化趨勢(shì)穩(wěn)定的參數(shù)能獲得良好的效果。

5 結(jié)語(yǔ)

飛行器在飛行過(guò)程中受到眾多難以準(zhǔn)確描述的因素的影響,可以認(rèn)為是“部分信息已知,部分信息未知”的“灰色系統(tǒng)”,飛行器飛行過(guò)程中一些變化趨勢(shì)穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)參數(shù)滿足GM(1,1)模型的適用范圍,實(shí)例計(jì)算說(shuō)明預(yù)測(cè)效果良好。較準(zhǔn)確預(yù)測(cè)某些參數(shù)的丟失數(shù)據(jù),為充分挖掘試驗(yàn)數(shù)據(jù)的信息含量具有重要意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2002.

[2] 劉思峰.走向世界的灰色系統(tǒng)理論[C].第十屆全國(guó)灰色系統(tǒng)學(xué)術(shù)討論會(huì).北京:中國(guó)教育報(bào)刊社,2002.

[3] 劉思峰,鄧聚龍.GM(1,1)模型的適用范圍[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2005,5.