淺談數學直覺思維及其能力的培養

陳永生

直覺思維是指不受固定的邏輯規則的約束，對事物的一種迅速的識別，敏銳而深入的洞察，直接的本質理解和綜合的整體判斷.布魯納認為，直覺思維是突如其來的領悟和理解，正是由于直覺思維基于對基礎知識及其結構的掌握，對問題在敏銳想象和迅速判斷的有機結合下，才使一個人能以飛躍、迅速越級和放過個別細節的直接領悟的方式得到結果.

一、數學直覺思維的意義

數學直覺思維是具有意識的人腦對數學對象、結構以及規律性關系的敏銳的想象和迅速的判斷.這種想象和判斷沒有嚴格的邏輯依據，沒有分析性按部就班的推理過程.思維者對其過程也無清晰的意識，是一種直接的領悟或洞察.我們把這種想象和判斷分別稱為直覺想象和直覺判斷.而對數學對象、結構以及關系的直覺想象和直覺判斷的有機結合就是數學直覺思維.在數學發展史上，許多數學家都十分重視直覺思維的作用，并給予了高度的評價.例如，笛卡爾創立解析幾何，牛頓發現微積分都受益于數學直覺思維.愛因斯坦說：“看來，直覺是頭等重要的了.”

二、數學直覺思維特性

1.思維過程的簡約性和對思維對象把握的整體性

直覺思維是對思維對象從整體上考察調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設、猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了“跳躍式”的形式.它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，它是從整體上直接把握問題的本質.

2.洞察問題的深刻性

直覺思維直接接觸事物的特征，具有審察全局，捕捉事物本質屬性的能力，在提出問題之后，立刻運用自己全部生活經驗和知識系統，進行急速的思維，然后用一種敏銳的觀察力，迅速地進行判斷，對問題作出嘗試性的回答.

3.思維過程的突發性和不可解釋性

直覺思維的過程不甚清晰，是在一瞬間完成的，可以說是在較短時間內能實現認識過程的突變和智力飛躍，想要對它的過程進行分析研究往往是十分困難的，這使直覺思維給人一種“神秘感”.著名的數學家高斯在談他當年解決高斯和的符號問題的體會時說：“我說不出是由于我苦苦的探索，而只是同于上帝的恩惠，就像是閃電轟擊的一剎那，那個謎團解開了，我以前的知識，我最后一次嘗試的方法以及成功的原因，這三者究竟怎么聯系起來的，我自己也未能理出頭緒.”由此，我們不難看到數學直覺思維的產生過程的突發性和難以表達的不可解釋性.

4.思維過程的創造性

現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來過多地注重培養邏輯思維，培養的人才大多習慣于按部就班，缺乏創造能力和開拓精神.直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆.正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的、發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性.伊恩·斯圖加特說“直覺是真正的數學家賴以生存的東西”，許多重大發現都是基于直覺.歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈.“邏輯用于論證，直覺用于發明.”彭加勒的這一名言對于數學創造活動中直覺思維的作用論述得十分精辟.

三、數學直覺思維能力的培養

數學學習中固然需要大量的邏輯思維，同時也需要大量的直覺思維，數學家們對直覺思維在數學研究和數學發現中的作用給予高度的評價.一般認為，“邏輯是證明的工具”“直覺是發現的工具”.直覺思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結論，給人以“發散”“放射”感覺，一計不成又生一計，因此，加強直覺思維能力的訓練，對克服思維的單向性，提高思維品質是有利的.

1.鼓勵學生大膽猜想

數學猜想是依據某些數學知識和已知事實，對未知量及其關系作出的似真推理.在數學教學中，可將一些命題的結論暫不揭示，讓學生通過觀察、聯想、類比、特殊化等方法，憑直覺對命題的結論進行猜想，然后加以驗證，是發展直覺思維能力的必要手段.

2.復原直覺思維的邏輯通道，對直覺思維作慢鏡頭的剖析

直覺思維與邏輯思維的區別在于，直覺思維中存在著跳躍和簡約的具體過程并無所知，為了發展學生的直覺思維能力，有必要對直覺思維作慢鏡頭的解剖，“補上”被簡約的思維環節，“復原”直覺產生的邏輯通道，從中吸取經驗，尋找規律，以促使新的直覺產生.

3.培養學生的審美意識，讓學生學會追求數學美

美的意識能喚起和支配數學直覺，數學事實間的最佳組合往往依靠“審美直覺”來作出的.數學美集中表現在數學本身的簡潔性、對稱性、相似性、和諧性、奇異性等.數學家阿達瑪說過“數學直覺的本質是某種‘美感或‘美的意識”.

4.夯實“雙基”，為直覺思維提供源泉

愛因斯坦指出“具有豐富知識和經驗的人，比一般人更容易產生直覺獨特見解”.知識越淵博，經驗越豐富，邏輯思維方式的運用越熟練，直覺思維的成效就越高，創造性就越強.因此，記憶中儲存的知識和經驗的豐富與否，對直覺思維有著重要的作用.值得注意的是，直覺思維結論的不完全可靠性決定了其對問題的結論、解法或證法的正確性及可行性，要經過嚴格的檢驗，否則有可能步入直覺誤區，導致解題失誤.

“思維，真正可貴的因素是直覺”，這是愛因斯坦對直覺的高度評價.直覺思維是數學學習過程中學生發現活動的最重要、最有實際意義的發現形式，這對學生理解解決問題的思想方法以及思維能力的提高都是具有重要意義的.