線性代數中逆矩陣的引入方法

張寧 郭淑妹 郭杰

摘 要:矩陣理論是線性代數中的一個非常重要的內容,本文主要針對非數學專業線性代數教學中逆矩陣的定義引入方法進行了探討,采用啟發式教學,讓學生自主探索并發現逆矩陣的定義,有利于學生對概念的準確掌握。

關鍵詞:矩陣逆矩陣倒數

中圖分類號:O151 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2012)06(b)-0218-01

“線性代數”課程是高等院校工科學生數學教育中的一門重要的公共基礎課,其不僅向學生傳授了為學習大多數后續專業課程所必要的知識基礎,而且在大學生素質教育中的重要性也日益顯示,因此各高等院校都把教好和學好線性代數課程作為一項重要教學工作。

繼高等數學之后,線性代數是與工程應用的結合較密切工程數學中的一個內容,隨著經濟建設的發展和社會需求的增加,對線性代數知識的需求也日益增加,目前已成為一門獨立的數學基礎課程,線性代數的知識已成為在現代科學的各學科研究發展中最活躍的和被廣泛應用的基礎數學知識。線性空間、線性變換、矩陣理論等內容已滲透到許多學科和領域。矩陣是線性代數中的一個主要研究對象,矩陣方法是處理許多問題的重要工具,而逆矩陣又是矩陣理論中的一個非常重要的概念,學生必須要熟練掌握逆矩陣的定義和求逆方法。

線性代數這門課內容抽象,邏輯性較強,而且缺乏直觀性,學生容易感覺枯燥,缺乏學習積極性,因此要求教師針對不同內容采用適當的教學方法和手段,充分調動學生學習的興趣和主動性。俗話說萬事開頭難,講課也是一樣,一節別開生面的課的引入能否吸引學生是學生學好這節課的關鍵。本文針對逆矩陣定義的兩種引入進行了比較探討。

1 利用線性變換引入定義

首先給出一個線性變換

,

其中,,。

以的伴隨矩陣左乘上式,并利用,可得

,

當時,得到線性變換的逆變換,令,則,因此有:

,故;

,故,

所以,由此引入逆矩陣的概念。

逆矩陣定義:對于階矩陣,如果存在矩陣,使得,則說是可逆的,并稱矩陣是的逆矩陣。

這里需要說明兩點:

1)可逆矩陣必是方陣;

2)行列式不等于零是矩陣可逆的充分條件(可證明此條件也是必要的,是矩陣可逆的一個判定方法)。

這種引入方法是比較傳統的,具有精確的理論依據和嚴密的推理過程,并且在引入逆矩陣定義的同時,還給出了求一個可逆矩陣逆矩陣的方法——伴隨矩陣法,但是這種引入方式比較抽象,缺乏直觀性,學生容易感覺枯燥,失去學習興趣,達不到好的教學效果。

2 利用倒數定義類比引入定義

矩陣與復數相仿,有加、減、乘三種運算。矩陣的乘法是否也和復數一樣有逆運算呢？這就是本節課要討論的問題。

在數的運算中,除以一個非零數等于乘以這個數的倒數,我們先給出倒數的定義。

倒數定義:對于一個非零數,如果存在數,使得,則稱數是數的倒數,記為。如果,。

教師提問:在矩陣中,與數具有倒數的性質相仿的矩陣是否存在？類似地,對于矩陣乘法,若,是否也有類似的結果？如果有,成立的條件如何？

事實上,矩陣的運算與數的運算類似,在矩陣中也有類似倒數的概念,接下來我們先類比給出逆矩陣的定義:

類比定義:對于滿足某條件(問題1)的矩陣,如果存在矩陣,使得(問題2),則稱為的逆矩陣。

在類比定義中存在兩個問題需要解決,教師提問:

問題1:在數中,當數非零時,存在倒數,那么矩陣中,存在逆矩陣的矩陣要滿足什么樣的條件？

問題2:在數中,互為倒數的兩個數滿足,可交換相乘且乘積等于1,那么在矩陣中,等式中的矩陣？

我們先來回答問題1,由滿足等式,矩陣可交換相乘,學生可以發現,只有在、為同階方陣時,等式才成立,可以交換相乘,因此只有當矩陣A為方陣時才有逆矩陣,且其逆矩陣與是同階方陣,到此就解決了問題1。

我們在來討論問題2,由于在數中互為倒數的兩個數乘積等于1——數中的單位元,類比到矩陣中,學生能夠想到應該等于單位矩陣——矩陣中的單位元,于是解決了問題2。到此逆矩陣的定義就完整了:

逆矩陣定義:對于階矩陣,如果存在矩陣,使得,則說是可逆的,并稱矩陣是的逆矩陣,記為。

如果,且是可逆的,則有如下結論:

等式兩邊同時左乘,,即。(注意矩陣乘法一般不滿足交換律,)

這種引入方法利用學生熟知的倒數定義類比得出逆矩陣定義,通過設“問題鏈”引導學生去主動思考問題,自己探索并發現逆矩陣的定義條件,由淺入深,由已知到未知,在探索過程中加深了對定義的理解記憶,有助于牢固掌握基礎概念,并且能使學生感受到探求未知的樂趣和成就感,增強學習興趣。

3 結語

線性代數具有較強的邏輯性、抽象性和廣泛的實用性,通過對它的學習,可以培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、數值計算能力和空間想象能力。因此要求教師對線性代數課程的教學方法進行研究,擺脫以“滿堂灌”為主的傳統教學模式的束縛,采用多樣的教學手段,加強教師主導學生積極參與的師生互動,使學生在生動活潑的課堂氣氛中吸收并消化知識,達到事半功倍的教學效果。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系．線性代數(第四版)[M]．北京:高等教育出版社,2003．

[2] 北京大學數學系．高等代數(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003．

[3] 陳維新．線性代數教學談[J].高等教育研究,2010,13(4):117～118．