揭示數學知識背后的思想方法

葉玉奎

數學教學有兩方面的任務，即數學知識和數學思想方法的教學。數學知識是數學的基礎，數學思想方法則是數學的精髓，兩者都很重要，尤其是后者，對學生構建認知結構、培養數學觀念、提升創新思維能力至關重要。而在教學實踐中，我們經常把數學知識作為教學的主要任務，很容易忽視思想方法的教學，即便重視，也常常把思想方法的教學定位于“滲透”，而非明確的“揭示”。本文就數學教學中的主要數學思想方法的作用、運用，談談自己的看法和建議。

一、數學教學中的主要數學思想方法

數學思想方法源于數學知識和數學方法，是對知識、方法、規律的本質概括，對解決數學問題，是解題思想，也是思維方式，同時也是解題策略和程序。在數學教學中對學生進行思想方法滲透的同時，給予明確揭示，并引導學生把握，將會使學生突破模仿型解題的水平，形成較強解決問題的能力，培養創新思維能力。

在初中數學教學中，常見到的基本數學思想方法有五種，我進行了初步歸整，并對各自的作用、特點和運作進行了簡要的總結。

1. 化歸

化歸思想方法是指研究和解決數學問題時采用某種手段通過變換使之轉化。具體地說就是把“新知”轉化為“舊知”，把“復雜”轉化為“簡單”，把“抽象”轉化為“直觀”，把“含糊”轉化為“明朗”。掌握了化歸思想，學生的認識起點和認知水平會迅速提升，會在解決數學問題時，有意識地對問題進行分析、類比、聯想，把未知的問題化歸為已知問題 ，從而輕松地解決問題。

它的實施程序是：找準問題的化歸對象——確定化歸目標——探尋化歸手段。例如求四邊形的內角和：把四邊形轉化（化歸對象）為三角形（化歸目標），需要添加輔助線，連接對角線（劃歸手段），四邊形轉化為兩個三角形，通過三角形的內角和來研究四邊形的內角和。

要培養學生的劃歸思想，教師應充分重視在實踐教學過程中對學生進行化歸訓練，強化學生看透數學問題本質的意識，從而增強他們隨機應變的能力。

2. 數形結合

數形結合思想方法是指解決數學問題時將數量與圖形進行相互轉化。數形結合可以使抽象的數學問題變得直觀可見，有助于學生把握數學問題的本質，簡化解決方法和解決程序。

在初中數學中，以下內容慣用數形結合思想方法解決：實數與點、函數與圖像、曲線與方程。教師在培養學生數形結合思想方法時，要充分利用這幾部分內容進行訓練，引導學生認識到數形結合的對應性，揭示坐標系是數形結合基礎這一特性。

3. 分合

分合思想方法是解決數學問題時將研究對象分解組合。具體地說就是把原問題根據涉及的范圍分解為若干個新問題，分別求其解；然后通過組合其解而得到原問題的解。這種思想中具體使用的方法就是數學教學中經常說的分類討論法。

在初中數學中，以下內容慣用分合思想方法解決：含字母的絕對值、一元二次方程根的討論、解不等式組、函數增減性、弦切角定理。教師在教學中對學生揭示這種思想方法時，要引導學生在復雜度高、綜合性強的問題中運用，使學生在領悟分合思想方法的同時，培養他們思考和分析能力，提高他們解題時的全面性和嚴謹性。

4. 不變量

不變量思想方法是解決數學問題時，抓住問題中經過運動、變換、操作后仍保持不變的量。面對變化繁雜的問題，要想抓住聚合點，找出關聯，就必須揪住不變量這條重要線索，并把它作為解題的關鍵。

5. 整體思想

整體思想方法是從問題的整體性質出發，把某些部分看成獨立體，根據它們與整體的關聯，進行針對性的處理。具體使用方式包括整體代入、整體運算、整體設元、疊加疊乘處理等。例如用整體思想方法解方程，就是用方程中的某一個代數式整體去代入，解出代數式的值，再根據代數式的值解出未知數的值。

初中數學中，整體思想方法慣用于以下內容：代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何補形。在對學生揭示時，教師要在培養學生觀察辨析能力的基礎上，幫助學生構建從宏觀和整體角度認識問題的思維模式。

二、數學思想方法在教學中的應用案例

1. 幾何案例：多邊形教學

題目：求四邊形的內角和。

學生自主探究后，找出的解題途徑有6種（如圖所示）：

講評后，組織學生討論在這“一題多解”的背后，有什么共同的地方？（化歸為三角形的內角和）

緊接著開始拓展 ：求這個圖形的內角和 。

得出結論：多邊形都可以化歸為三角形（如圖所示）。

本案例中用到的數學思想有：

化歸——通過輔助線將“四邊形的內角和”化歸為“三角形的內角和”。

數形結合——幾何性質的四個角之和，通過角的分割、轉移與合并，轉化為代數意義的求和式的拆項、交換與結合。

分合——圖形的分割、轉移與合并，代數和的拆項、交換與結合，都體現了分解與組合。

不變量——角A、角B、角C、角D進行轉移、分合等變化，但和不變，體現了變動中的不變量。

2. 代數案例：方程的教學

題目：一元二次方程的基本解法。

學生總結出四種基本解法：開平方法、配方法、因式分解法、公式法。

組織學生討論，四種解法有什么共同處？（降次）

得出結論：“降次轉化”，是解一元二次方程各方法之“宗”。

本案例中用到的數學思想有：

化歸——把一元二次方程通過分解化歸為兩個一次方程。

分合——把方程分解成兩個因式，分別求值，再進行組合。

整體——在使用配方法和公式法中，將配方項作為一個獨立的整體代入。

數學思想方法以內隱的形式貫穿在整個數學教材的知識點中，要使學生把這種思想內化為自己的思維方式，就需要教師給予揭示，使這些思想方法從習題背后浮現出來。

（拉薩市第七中學）