歸納猜想:獲取求數列通項思路的利器

彭進喜

求數列的通項是數列中的常見題型，根本方法是利用等差數列或等比數列。接下來，舉例幾個已知遞推公式求數列通項的題目。

例1：已知a1=1an=2an-1+1，求an。

分析：根據遞推公式，不難求出a2=3，a3=7,a4=15,a5=31，于是可以猜想an=2n-1。接下來拓展思路，如果an=2n-1，則數列{an+1}就是等比數列，于是我們可以先證明數列{an+1}是等比數列。證明：∵===2為常數，∴{an+1}是等比數列，首項為2，公比為2，∴an+1=2×2n-1=2n, ∴an=2n-1。

例2：已知a1=1an=2an-1+n，求an。

分析：（過程略）根據遞推公式，不難求出a2、a3、a4、a5，于是可以猜想an=2n-1+2×2n-2+…+(n-1)×2+n；根據錯位相減法不難求出an=2n+1-n-2，接下來需求思路，如果an=2n+1-n-2,則數列{an+n+2}就是等比數列。于是，我們可以先證明數列{an+n+2}是等比數列。∴an=2n+1-n-2.

例3：已知a1=1an=2an-1+2n，求an。

分析：（過程略）根據遞推公式，不難求出a2、a3、a4，于是可以猜想an=2n-1+(n-1)2n=(2n-1)2n-1，接下來需求思路，如果an=(2n-1)2n-1，則數列{}就是等差數列，于是我們可以先證明數列{}是等差數列?！郺n=(2n-1)2n-1。

例4：已知a1=1an=2an-1+3n，求an。

分析：（過程略）根據遞推公式，求出a2、a3、a4、a5，于是可以猜想：an=3n+1-2n+2，接下來需求思路，如果an=3n+1-2n+2，則數列{3n+1-an}就是等比數列，于是我們可以先證明數列{3n+1-an}是等比數列。最后得出：an=3n+1-2n+2 .

對于4個例題，可以推廣到一般的情況，分別是：(1)已知a1=can=pan-1+q，其中c、p、q為常數，求an；(2)已知a1=can=pan-1+n，其中c、p為常數，求an；(3)已知a1=can=pan-1+pn，其中c、p為常數，求an；(4)已知a1=can=pan-1+qn，其中c、p、q為常數，求an。

下面僅對第一類情況進行分析說明。分析：（過程略）根據遞推公式，不難求出a2、a3、a4，于是可以猜想，an=+(c-)pn-1,接下來需求思路，如果an=+(c-)pn-1，則數列{an+}就是等比數列，于是我們可以先證明數列{an+}是等比數列。最后得出：an=（c+)×pn-1+。

上面的五種情況可以概括為一種題型。已知a1=can=pan-1+f(n)，其中c、p為常數，f(n)為等差數列或者等比數列，求an。如果p=1，則直接用累加法或累乘法就可以解決，如果p≠1,則都可以用歸納猜想來獲取思路，并求解。對于(4)這種類型，也可以對an=pan-1+pn的兩邊同時除以pn，會更加簡單，對于(1)也可以用待定系數法來求解。

（樂清市柳市中學）