微分中值定理應用的一個注記

王丹

摘要： 微分中值定理是微分學中的最重要的基本定理，其應用非常廣泛，特別是求函數極限，但在應用微分中值定理時一定要注意所得到的只是一個存在性結果，否則就會出現錯誤的解答.

關鍵詞： 微分中值定理極限羅比達法則

微分中值定理是《數學分析》及《高等數學》等數學課程的重要知識點之一.其應用非常的廣泛，如證明不等式，判定方程根的存在性及其個數，求極限，等等.特別是將微分中值定理應用到求解函數的極限中，我們得到一種非常方便、簡潔、有效的方法——羅比達法則.這個法則便于我們求解型與型，以及能化成這兩種類型的不定式極限.然而，大家在應用中往往會忽略羅比達法則要求導函數的極限是存在的，引申一點來說就是微分中值定理所得到的結果只是一個存在性的結論，而不是我們求極限所要得出的普遍性的、任意性的結論.本文將從幾個典型的例題來論證這一問題的重要性.

下面我們給出微分中值定理的敘述.

Cauchy中值定理設函數f和g滿足如下條件，

（Ⅰ）在閉區間［a，b］上連續；

（Ⅱ）在開區間（a，b）內可導，且?坌x∈（a，b），有g′（x）≠0，

則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得

=.

在Cauchy中值定理中，令g（x）≡x就得到Lagrange中值定理，即函數f在閉區間這［a，b］上連續且在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=.而在Lagrange中值定理條件中再加一個條件f（b）=f（a）就得到Roll定理，即函數f在閉區間［a，b］上連續且在開區間（a，b）內可導，且f（b）=f（a），則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=0.

我們把這三個定理統稱為微分中值定理.在我們教材中是先給出定理，由Roll定理得到Lagrange中值定理，再由Lagrange中值定理得到Cauchy中值定理.特別是在我們利用Lagrange中值定理來證明Cauchy中值定理時，是利用構造輔助函數的思想，使其滿足Lagrange中值定理的條件，來得到Cauchy中值定理的結論.而不是我們初學者往往由函數f和g均滿足中值定理的條件，從而對函數f和g分別利用Lagrange中值定理得到

f′（ξ）= （1）

g′（ξ）=（2）

再由（1）（2）式做商就得到了Cauchy中值定理的結論.這里形式上是正確的，但事實上是錯誤的.因為Lagrange中值定理的結論只是說至少存在一點，我們不能由此就得到（1）（2）式中的ξ是同一點的.我們在教學過程也著重強調了這一點，但往往在實踐時還是忽略了這個問題.我們來看一下下面這個例子.

例1.設函數f在（a，b）內可導，且f′單調，證明f′在（a，b）內連續.

我在教學過程中，發現很多能做出此題的學生，竟然證明此題而沒有用“導函數f′單調”這個條件.從教學經驗看來，這樣應該是錯誤的解答.我仔細看了他們的證明過程，是利用Langrange中值定理來證明的，但證明是有漏洞的，就是將存在性的ξ誤解為任意的都成立.他們的解法如下.

證明：?坌x∈（a，b）對任意的一點x∈（a，b）且x≠x，則在函數以x，x為端點的閉區間連續且可導，從而由Lagrange中值定理得，在以x，x為端點的開區間內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=.

由于函數f在（a，b）內可導，從而對上式兩邊對x取極限得

=f′（ξ），

即f′（x）==f′（ξ），而當x→x時，得到ξ→x，從而有f′（x）=f′（ξ）=f′（ξ），由此我們可得到f′（x）=f′（x）.再由x的任意性知，f′在（a，b）內連續.

這個證明看起來是沒有任何理論錯誤的，但事實上卻犯了以偏概全的概念性錯誤.事實上，雖然當x→x時，得到ξ→x，從而有

f′（x）=f′（ξ）=f′（ξ），

沒有任何的錯誤，但由此就得到f′（x）=f′（x）卻是錯誤的.由于這里的ξ只是一個存在性的，從而ξ→x.這只能代表x→x過程中某一個趨向的極限.而極限f′（x）=f′（x）中要求對沿任何x→x的趨向極限都要存在且相等的.由函數極限的歸結原則知，若是在極限f′（x）存在的條件下，我們可以x→x過程中某一個趨向的極限值來算f′（x）的值；但是不能以f′（x）在x→x過程中某一個趨向的極限存在得到f′（x）存在的.

我們來看一個具體函數的例子.函數f（x）=xsin，x≠00， x=0在R都是連續且可導的，但其導函數在x=0處不連續的.事實上，?坌x∈R＼{0}有，f′（x）=2xsin-cos，

而當x=0時，f′（0）==xsin=0，從而我們有f′（x）=2xsin-cos，x≠00，x=0，

顯然f′（x）在x=0處是不連續的.

當然這個題的正確證明，應該是先由導函數的單調性利用單調有界定理證明導函數的每一點左右極限存在，再用Lagrange中值定理來分別證明左右導數存在且相等.這里我就不給出具體的證明過程了，大家可以參照文獻［1］第164頁第九題的詳解.

應用微分中值定理求具體的函數的極限出現錯誤的解法主要表現在多次用羅比達法則時而忽略了導函數的極限是否存在的.我們看一下下面兩個具體的例子.

例2.設f（x）=，x≠00， x=0，且g（0）=g′（0）=0，g″（0）=3，試求f′（0）.

我在教學過程發現，學生在處理這個問題時是通過兩次利用型羅比達法則，具體解法如下：

f′（0）======

這個答案是正確的，但是解答時不嚴密的，主要是在第二次用到羅比達法則后求解二階導數極限時利用了g″（x）在x=0點的連續性，而事實題目中并沒有告訴我們g″（x）在x=0點是連續的，而只是說g″（0）=3.而正確的解答是利用一次羅比達法則之后，在利用g″（0）的定義來求解.具體如下：

f′（0）======

例3.證明

（1）若函數f在點a具有連續的二階導數，則=f″（a）；

（2）若函數f在點a的某個鄰域具有連續的二階導數，則=f″（a）；

（3）若f″（a）存在，則=f″（a）.

我在文獻［2］中找到前面兩個小題，后一個小題我是根據文獻［3］中一個習題編寫而來的.前面兩個小題我們可以兩次利用型羅比達法則就可以證得，而后一個小題只能用一次羅比達法則后只能利用二階導數的定義來做就如同例2中的解法.具體的解答我就不在此一一列出了.

應用微分中值定理求極限，雖然非常簡潔方便有效，但要注意所得到的結果只是一個存在性的結果，而不是任意性的.不能由此得到極限的存在，只能是在極限存在的前提下來求得該極限值.其表現在利用羅比達法則時一定要驗證其導函數的極限是否存在，若是盲目地去做就會得出一些錯誤的解答，這里大家可以參照文獻［2］的第169—170頁，以及文獻［3］的第262頁，其中都給出了一些很好的例子.在今后的處理微分中值定理的教學和學習過程中，我們一定要慎重利用所得到的存在性結果，以免得出錯誤的解答.

參考文獻：

［1］曾捷.數學分析（上冊）同步輔導及習題全解.中國礦業大學出版社，2007.

［2］華東師范大學數學系.數學分析（上冊）（第二版）.高等教育出版社，1980.

［2］劉玉璉，傅沛仁，林玎等.數學分析講義（上冊）（第五版）.高等教育出版社，2008.