建立數(shù)學(xué)模型,解決生活問題

李猛

摘要： 建立數(shù)學(xué)模型對(duì)解決實(shí)際生活中的問題有著重要的意義，本文通過幾個(gè)生活中的問題，進(jìn)一步闡述了數(shù)學(xué)建模的重要性。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模生活問題

當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為某種形式語(yǔ)言（即包括常用符號(hào)、函數(shù)符號(hào)、謂詞符號(hào)等符號(hào)集合）解釋時(shí)，我們就把這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱為數(shù)學(xué)模型。也就是說，數(shù)學(xué)模型是通過抽象、簡(jiǎn)化的過程，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際現(xiàn)象的一個(gè)近似的刻畫，以便于人們更深刻地認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象。

數(shù)學(xué)模型并非是新生事物，自從有了數(shù)學(xué)的那一天起，數(shù)學(xué)模型也就誕生了。在實(shí)際生活中，能夠直接使用數(shù)學(xué)方法解決的問題并不多見。然而，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活問題的第一步就是通過實(shí)際生活問題本身，從形式上雜亂無章的現(xiàn)象中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系，也就是構(gòu)建這個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，其過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。

中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于如何使用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題。《新課程標(biāo)準(zhǔn)》也重點(diǎn)指出：通過有用的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際生活中的應(yīng)用題。因此，教師在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要培養(yǎng)中學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，以及建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型分析、解決問題的能力。下面就我在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐中的做法，與大家一同探討。

一、利用二元一次方程組建模

例1：在2007年的暑假期間，小軍和他的爸爸媽媽一塊乘坐火車從A地到B地去旅游，在火車站的售票大廳看到了下表。媽媽對(duì)小軍說：“你能算出火車行駛的里程數(shù)和票價(jià)之間的關(guān)系嗎？”

請(qǐng)問：你能給出票價(jià)y與火車行駛里程x之間的關(guān)系式嗎？如果A地到某地的距離為75km，票價(jià)應(yīng)該定價(jià)為多少元？

解析：設(shè)票價(jià)y與火車行駛里程x之間的函數(shù)關(guān)系為y=kx+b，當(dāng)x=115時(shí)，y=25；當(dāng)x=90時(shí)，y=20，所以有

115k+b=2590k+b=20

解得

k=0.2b=2

因此票價(jià)y與火車行駛里程x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=0.2x+2。當(dāng)x=75時(shí)，y=17。也就是說，A地到該地的票價(jià)應(yīng)該定價(jià)為17元。

本題通過利用二元一次方程組建立數(shù)學(xué)模型，解決了在實(shí)際生活中遇到的問題，并將該問題進(jìn)行了深化。

二、利用分式建模

例2：從A地到B地有兩條路，每條路都是3km，其中第一條路是平路，第二條路有1km的上坡路和2km的下坡路。小華在上坡路上的騎車速度為vkm/h，在平路上的騎車速度為2vkm/h，在下坡路上的騎車速度為3vkm/h，那么：

（1）當(dāng)小華走第二條路時(shí)，他從A地到B地需要多長(zhǎng)時(shí)間？

（2）從A地到B地他走哪條路花費(fèi)的時(shí)間較少？少用多長(zhǎng)時(shí)間？

解析：（1）走第二條路時(shí)，從A地到B地所需時(shí)間=走上坡路的時(shí)間+走下坡路的時(shí)間=+=。

（2）走第一條路時(shí)，從A地到B地所需時(shí)間為，-=，于是走第二條路花費(fèi)的時(shí)間較少，少用h。

本題通過從實(shí)際生活問題中建立分式模型，既解決了生活問題，又培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力。

三、利用不等式組建模

例3：2008年8月，北京奧運(yùn)會(huì)帆船比賽在青島帆船中心舉行。觀看帆船比賽的船票分為兩種：Ａ種船票600元/張，B種船票120元/張。某旅行社要為一個(gè)旅行團(tuán)代購(gòu)部分船票，在購(gòu)票費(fèi)不超過5000元的情況下，購(gòu)買A，B兩種船票共15張，要求Ａ種船票的數(shù)量不少于Ｂ種船票數(shù)量的一半。若設(shè)購(gòu)買Ａ種船票ｘ張，請(qǐng)你解答以下問題。

（1）共有幾種符合題意的購(gòu)票方案？

（2）根據(jù)計(jì)算判斷：哪種購(gòu)票方案更省錢？

解析：（1）設(shè)購(gòu)買B種船票y張，于是根據(jù)題意可得

x+y=15x≥y600x+120y≤5000

解得5≤x＜。因?yàn)閤為整數(shù)，所以x可取5、6。

即有兩種購(gòu)票方案：購(gòu)買A種船票5張，B種船票10張；或購(gòu)買A種船票6張，B種船票9張。

（2）5×600+10×120=4200，6×600+9×120=4680，所以購(gòu)買A種船票6張，B種船票9張這種方案最省錢。

四、利用函數(shù)關(guān)系建模

例4：某市農(nóng)村已經(jīng)實(shí)行了農(nóng)民新型合作醫(yī)療保險(xiǎn)制度。享受醫(yī)保的農(nóng)民可以在規(guī)定的醫(yī)院就醫(yī)并按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷部分醫(yī)療費(fèi)用。下表是醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷的標(biāo)準(zhǔn)：

（說明：住院醫(yī)療費(fèi)用的報(bào)銷分段計(jì)算。）

（1）設(shè)某農(nóng)民一年中住院的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)用為x元（5000＜x≤20000），按標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷的金額為y元，試求出y與x的關(guān)系式。

（2）若某農(nóng)民一年內(nèi)本人自付住院醫(yī)療費(fèi)17000元（自付醫(yī)療費(fèi)=實(shí)際醫(yī)療費(fèi)-按標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷的金額），則該農(nóng)民當(dāng)年實(shí)際醫(yī)療費(fèi)用共多少元。

解析：（1）當(dāng)5000＜x≤20000時(shí)，

y=5000×30%+（x-5000）×40%=0.4x-500

（2）由自付醫(yī)療費(fèi)和報(bào)銷標(biāo)準(zhǔn)可以判斷，該農(nóng)民當(dāng)年實(shí)際醫(yī)療費(fèi)應(yīng)該在20000元以上。當(dāng)x＞20000時(shí)，按標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷的金額

y=5000×30%+（20000-5000）×40%+（x-20000）×50%=0.5x-2500

根據(jù)題意還有

x-y=17000

聯(lián)解兩式可得，x=29000。也就是說該農(nóng)民當(dāng)年實(shí)際醫(yī)療費(fèi)用共29000元。

以上是我在教學(xué)中讓學(xué)生完成的幾道生活中的問題，這些問題都可以通過建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決。教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想去解決生活中的問題，讓學(xué)生養(yǎng)成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題的方法和習(xí)慣，從而提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］蔡鎖章.數(shù)學(xué)建模原理與方法［M］.北京：海洋出版社，2000.