中學(xué)物理中的平均問題

楊志宏

摘要： 在中學(xué)物理中有很多有關(guān)平均值的問題，題型也比較多，但課本中并沒有深入研究。本文從平均速度、平均力、平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、電流平均值、電流有效值等方面進(jìn)行了探索，闡述各平均值的物理意義、有關(guān)計(jì)算和注意事項(xiàng)。

關(guān)鍵詞： 中學(xué)物理教學(xué)平均問題平均值

1.平均速度與瞬時(shí)速度

瞬時(shí)速度是物體某時(shí)刻或某位置的速度，平均速度是物體在時(shí)間間隔Δt內(nèi)的平均快慢程度。這兩個(gè)概念有一定的聯(lián)系。若物體在一條直線上運(yùn)動(dòng)，在Δt、Δt……時(shí)間間隔內(nèi)通過的位移分別為x、x……則在整個(gè)過程中的平均速度為：===。

若速度是連續(xù)變化的，且V=f(t)，則：==

可見：平均速度等于瞬時(shí)速度關(guān)于時(shí)間的平均。

2.力關(guān)于時(shí)間的平均與關(guān)于位移的平均

力的平均值分為時(shí)間平均值和空間平均值兩類，二者所表達(dá)的物理意義和所關(guān)聯(lián)的物理量是不相同的。力關(guān)于時(shí)間的平均值：===；

若力隨時(shí)間是連續(xù)變化，且F=f(t)，則：==。

力關(guān)于時(shí)間的平均值與相對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔之積表達(dá)了力關(guān)于時(shí)間的積累效應(yīng)，是沖量，引起了動(dòng)量的變化，運(yùn)用動(dòng)量定理來描述這些物理量的聯(lián)系。力關(guān)于時(shí)間的平均與空間量（位移）的乘積是沒有意義的。

同理，力關(guān)于空間(位移)的平均值與相應(yīng)的空間距離(或位移)之積表達(dá)了力關(guān)于空間積累效應(yīng)，是功，引起了能量(動(dòng)能)的變化，運(yùn)用能量(動(dòng)能)定理來描述這些物理量的聯(lián)系。同樣關(guān)于空間(位移)的平均力與時(shí)間的乘積是沒有意義的。

3.線性變化的平均值

（1）勻變速運(yùn)動(dòng)的平均速度

勻變速直線運(yùn)動(dòng)的V—t圖像是一條直線，如圖1所示。由于t時(shí)間內(nèi)通過的位移等于圖像與t軸所圍成的梯形面積S=（V+V）/2，也等于中位線乘高，即：S=V×t。又因?yàn)镾=×t，所以=V=（V+V）/2，即平均速度等于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度也等于初、末速度的算術(shù)平均。

（2）彈簧彈力做功

由于彈力隨長(zhǎng)度的變化成正比關(guān)系f=kx，因此從平衡位置到伸長(zhǎng)長(zhǎng)度為x的過程中關(guān)于位移的平均力=f=（f+f）/2=kx/2，彈力所做的功W=-x=-kx。

結(jié)論：某函數(shù)隨自變量是線性變化關(guān)系，則其平均值等于中值，也等于初、末值的算術(shù)平均。

4.同一性原則

（1）由P===FV可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)V為某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度時(shí)，P為同時(shí)刻的瞬時(shí)功率；V為某段時(shí)間的平均速度時(shí)，P為同一段時(shí)間的平均功率。

（2）如圖2所示，水平放置的光滑U形金屬導(dǎo)軌間距為l，左端接一個(gè)阻值為R的電阻。空間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒，垂直置于導(dǎo)軌平面上，與導(dǎo)軌接觸良好，現(xiàn)給導(dǎo)體棒一個(gè)水平向右的初速度v,求導(dǎo)體棒可以滑行的距離。（導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒電阻忽略）

設(shè)導(dǎo)體棒到停止過程中滑行距離為d，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t。

方法一：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=ΔΦ/t====Bl。由推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)和E都是關(guān)于時(shí)間的平均值。因而=/R===當(dāng)然是關(guān)于時(shí)間的平均電流，它與時(shí)間的積就是通過R的電量。平均安培力=Bl=，它與時(shí)間的積就是沖量。可用動(dòng)量定理：t=mv，綜上可得：d=。

方法二：安培力在初狀態(tài)時(shí)的瞬時(shí)值為F=，末狀態(tài)時(shí)安培力為0。在通過位移為x的過程中關(guān)于時(shí)間的平均安培力=Bl=，平均加速度==,為關(guān)于時(shí)間的平均，所以可以與時(shí)間相乘。則位移為x時(shí)的瞬時(shí)速度v=v-t=v-t=v-x，這一位置處的瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv，瞬時(shí)電流I=，所以瞬時(shí)安培力F=BIl=Bl=-x=F-x，可以發(fā)現(xiàn)安培力關(guān)于位移x是成線性變化關(guān)系，因而安培力關(guān)于位移x的平均值==。可用動(dòng)能定理：d=mv。綜上可得：d=。

（3）如圖3所示半徑為r的金屬圓盤在垂直于盤面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，繞O軸以角速度ω沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

在任意時(shí)間Δt內(nèi)轉(zhuǎn)過的面積ΔS=，其中Δθ=ωΔt，則在這段時(shí)間內(nèi)關(guān)于時(shí)間的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=ΔΦ/Δt====，大小與時(shí)間無關(guān)，即感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是恒定的。

或者：由E=Brv進(jìn)行計(jì)算，但v隨半徑r由內(nèi)向外增加，v=ωx，v與半徑大小x呈線性關(guān)系，所以關(guān)于半徑的平均速度=（ωr+0）/2，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Br=。

綜上可知，關(guān)于時(shí)間的平均可與時(shí)間相乘；關(guān)于空間量(位移)的平均可與空間量（位移）相乘。瞬時(shí)值與瞬時(shí)值相對(duì)應(yīng)；平均值與平均值相對(duì)應(yīng)，并且是關(guān)于同一個(gè)物理量的平均。

5.電流的平均值與有效值

（1）有效值的意義

交變電流的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)定義的，即如果交變電流通過電阻時(shí)產(chǎn)生的熱量與某一直流電通過同一電阻在相同的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，則直流電的數(shù)值就是該交變電流的有效值。

例：如圖4所的電流i隨時(shí)間t的變化圖像，求此交變電流的有效值。

交變電流的大小隨時(shí)間做周期性變化，瞬時(shí)功率隨時(shí)間不停地變化，而有效值是用來計(jì)算長(zhǎng)時(shí)間的平均功率。一個(gè)周期內(nèi)的平均功率與長(zhǎng)時(shí)間的平均功率相等，所以現(xiàn)在就計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)交變電流放出的熱量Q。

Q=IRT/2+IRT/2

由有效值的定義可知若同一電阻通以恒定電流在T時(shí)間內(nèi)放出相等的熱量Q=IRT，則有效值I==5（A）。

由此可見，電流有效值等于瞬時(shí)電流的平方關(guān)于時(shí)間的平均再開方，即方均根。

（2）正弦交流電的有效值

如圖5所示，一邊長(zhǎng)為l的正方形線圈abcd放置在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，電阻為R，并繞過ab、cd中點(diǎn)的軸OO′以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。若以線圈平面與磁場(chǎng)夾角θ＝0°時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求在轉(zhuǎn)過90°的過程中通過的電量及熱量。

關(guān)于時(shí)間的平均電動(dòng)勢(shì)=ΔΦ/t==，通過的電量Q=t=t=。但電功的計(jì)算卻不能用關(guān)于時(shí)間的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，而要用電流的有效值。

當(dāng)線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所產(chǎn)生的交流電為正弦交流電，其瞬時(shí)表達(dá)式為i=Isinωtdt。在T/4內(nèi)放出的熱量Q=?蘩iRdt。由于從0到T/4內(nèi)電流大小的變化是一個(gè)周期T內(nèi)電流大小變化重復(fù)的最小單元，即：從0到T/4的平均功率與一個(gè)周期T內(nèi)的平均功率相等。由有效值的定義得：

正弦交流電的有效值I====

則Q=IRT/4=ImRT/8。

參考文獻(xiàn)：

［１］普通高中物理教科書.人教版.

［２］叢書主編：王朝銀.創(chuàng)新設(shè)計(jì).