中學物理中的平均問題

楊志宏

摘要： 在中學物理中有很多有關平均值的問題，題型也比較多，但課本中并沒有深入研究。本文從平均速度、平均力、平均感應電動勢、電流平均值、電流有效值等方面進行了探索，闡述各平均值的物理意義、有關計算和注意事項。

關鍵詞： 中學物理教學平均問題平均值

1.平均速度與瞬時速度

瞬時速度是物體某時刻或某位置的速度，平均速度是物體在時間間隔Δt內的平均快慢程度。這兩個概念有一定的聯系。若物體在一條直線上運動，在Δt、Δt……時間間隔內通過的位移分別為x、x……則在整個過程中的平均速度為：===。

若速度是連續變化的，且V=f(t)，則：==

可見：平均速度等于瞬時速度關于時間的平均。

2.力關于時間的平均與關于位移的平均

力的平均值分為時間平均值和空間平均值兩類，二者所表達的物理意義和所關聯的物理量是不相同的。力關于時間的平均值：===；

若力隨時間是連續變化，且F=f(t)，則：==。

力關于時間的平均值與相對應的時間間隔之積表達了力關于時間的積累效應，是沖量，引起了動量的變化，運用動量定理來描述這些物理量的聯系。力關于時間的平均與空間量（位移）的乘積是沒有意義的。

同理，力關于空間(位移)的平均值與相應的空間距離(或位移)之積表達了力關于空間積累效應，是功，引起了能量(動能)的變化，運用能量(動能)定理來描述這些物理量的聯系。同樣關于空間(位移)的平均力與時間的乘積是沒有意義的。

3.線性變化的平均值

（1）勻變速運動的平均速度

勻變速直線運動的V—t圖像是一條直線，如圖1所示。由于t時間內通過的位移等于圖像與t軸所圍成的梯形面積S=（V+V）/2，也等于中位線乘高，即：S=V×t。又因為S=×t，所以=V=（V+V）/2，即平均速度等于中間時刻的瞬時速度也等于初、末速度的算術平均。

（2）彈簧彈力做功

由于彈力隨長度的變化成正比關系f=kx，因此從平衡位置到伸長長度為x的過程中關于位移的平均力=f=（f+f）/2=kx/2，彈力所做的功W=-x=-kx。

結論：某函數隨自變量是線性變化關系，則其平均值等于中值，也等于初、末值的算術平均。

4.同一性原則

（1）由P===FV可以發現當V為某一時刻的瞬時速度時，P為同時刻的瞬時功率；V為某段時間的平均速度時，P為同一段時間的平均功率。

（2）如圖2所示，水平放置的光滑U形金屬導軌間距為l，左端接一個阻值為R的電阻?？臻g存在豎直向下的勻強磁場，磁感強度為B。一質量為m的導體棒，垂直置于導軌平面上，與導軌接觸良好，現給導體棒一個水平向右的初速度v,求導體棒可以滑行的距離。（導軌與導體棒電阻忽略）

設導體棒到停止過程中滑行距離為d，運動時間為t。

方法一：感應電動勢E=ΔΦ/t====Bl。由推導過程可以發現和E都是關于時間的平均值。因而=/R===當然是關于時間的平均電流，它與時間的積就是通過R的電量。平均安培力=Bl=，它與時間的積就是沖量?？捎脛恿慷ɡ恚簍=mv，綜上可得：d=。

方法二：安培力在初狀態時的瞬時值為F=，末狀態時安培力為0。在通過位移為x的過程中關于時間的平均安培力=Bl=，平均加速度==,為關于時間的平均，所以可以與時間相乘。則位移為x時的瞬時速度v=v-t=v-t=v-x，這一位置處的瞬時感應電動勢E=Blv，瞬時電流I=，所以瞬時安培力F=BIl=Bl=-x=F-x，可以發現安培力關于位移x是成線性變化關系，因而安培力關于位移x的平均值==?？捎脛幽芏ɡ恚篸=mv。綜上可得：d=。

（3）如圖3所示半徑為r的金屬圓盤在垂直于盤面的勻強磁場中，繞O軸以角速度ω沿逆時針方向勻速轉動，求感應電動勢。

在任意時間Δt內轉過的面積ΔS=，其中Δθ=ωΔt，則在這段時間內關于時間的平均感應電動勢E=ΔΦ/Δt====，大小與時間無關，即感應電動勢是恒定的。

或者：由E=Brv進行計算，但v隨半徑r由內向外增加，v=ωx，v與半徑大小x呈線性關系，所以關于半徑的平均速度=（ωr+0）/2，感應電動勢E=Br=。

綜上可知，關于時間的平均可與時間相乘；關于空間量(位移)的平均可與空間量（位移）相乘。瞬時值與瞬時值相對應；平均值與平均值相對應，并且是關于同一個物理量的平均。

5.電流的平均值與有效值

（1）有效值的意義

交變電流的有效值是根據電流的熱效應定義的，即如果交變電流通過電阻時產生的熱量與某一直流電通過同一電阻在相同的時間內產生的熱量相等，則直流電的數值就是該交變電流的有效值。

例：如圖4所的電流i隨時間t的變化圖像，求此交變電流的有效值。

交變電流的大小隨時間做周期性變化，瞬時功率隨時間不停地變化，而有效值是用來計算長時間的平均功率。一個周期內的平均功率與長時間的平均功率相等，所以現在就計算一個周期內交變電流放出的熱量Q。

Q=IRT/2+IRT/2

由有效值的定義可知若同一電阻通以恒定電流在T時間內放出相等的熱量Q=IRT，則有效值I==5（A）。

由此可見，電流有效值等于瞬時電流的平方關于時間的平均再開方，即方均根。

（2）正弦交流電的有效值

如圖5所示，一邊長為l的正方形線圈abcd放置在勻強磁場中，電阻為R，并繞過ab、cd中點的軸OO′以角速度ω逆時針勻速轉動。若以線圈平面與磁場夾角θ＝0°時為計時起點，求在轉過90°的過程中通過的電量及熱量。

關于時間的平均電動勢=ΔΦ/t==，通過的電量Q=t=t=。但電功的計算卻不能用關于時間的平均感應電動勢，而要用電流的有效值。

當線圈勻速轉動時，所產生的交流電為正弦交流電，其瞬時表達式為i=Isinωtdt。在T/4內放出的熱量Q=?蘩iRdt。由于從0到T/4內電流大小的變化是一個周期T內電流大小變化重復的最小單元，即：從0到T/4的平均功率與一個周期T內的平均功率相等。由有效值的定義得：

正弦交流電的有效值I====

則Q=IRT/4=ImRT/8。

參考文獻：

［１］普通高中物理教科書.人教版.

［２］叢書主編：王朝銀.創新設計.