萬變不離其宗,根源來自課本

李新蓮

摘要： 在高中數學教學中，課本中出現的一些習題，把它們作為方法結論直接應用，對于解決一些比較復雜的問題有極大的幫助.本文結合一個課本結論，予以舉例說明.

關鍵詞： 課本結論運用技巧

人民教育出版社全日制普通高中教材第二冊（上）第17頁習題6.3第7題：若a，b∈R，x、y∈R，且a+b=1，則ax+by≥（ax+by）（*）（當且僅當x＝y時，取“＝”號）.

此題看似簡單，常常被同學們所忽視，但它的條件和結論特征卻非常明顯，由此聯想到帶有條件“x+y=1”的最值和不等式問題，用（*）作“橋”求解，結果十分奏效，充分顯示出課本習題（*）的應用價值.

例1. 已知x，y∈R，且x+y=1，求+的最小值.

分析：這是一道方法較多的題目，但用（*）思考，別有一番風味.

解析：由（*）得

+=x?（）+y?（）≥（x?+y?）=9

當且僅當=，即x=，y=時等號成立，

故（+）=9.

例2. 設a，b，x，y皆為正實數，且x+y=1，求證：+≥a+b.

分析：初看此題，似乎難以入手，但用（*）思考，即可從根號下部分打開突破口.

證明：由（*）得：

ax+by=xa+yb≥（xa+yb）

即≥xa+yb

同理可得≥ya+xb

兩式相加，得

+≥（x+y）（a+b）=a+b.

例3. 已知a，b∈R，且a+b=1，求證+≥.

分析：此題與例2不同，條件等式和特征不等式左邊根號下部分關系不明顯，似乎不能用（*）解答，但考慮到不等式右邊根號下部分和等號成立的條件，可對左邊根號下部分適當變形.

證明：由（*）得

a+1=5［a+（）］≥5（?a+×）=（a+2）

所以≥（a+2）

同理可得≥（b+2）

兩式相加，得+≥.

也可將（*）推廣為：若a，b，c∈R，x，y，z∈R，且a+b+c=1，則ax+by+cz≥（ax+by+cz）（**）（當且僅當x=y=z時，取“＝”號）.

例4. 已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，求++的最小值.

解：由（**）得：

++=x?（）+y?（）+z?（）≥（x?+y?+z?）=36

當且僅當==，即x=，y=，z=時等號成立，

故（++）=36.