為“立幾”易錯題號脈

1. 定義概念模糊

數學中的每個概念、定義、術語、符號都有明確、具體的含義. 對于概念、定義理解不透，內涵、外延把握不準確是導致概念型題目出錯的主要原因. 比如線面（面面）平行（垂直）的判定定理和性質定理，正棱柱、正棱錐的判定都是容易考到的，也是同學們常常犯錯誤的地方.

2. 思維不慎密、思考不全面

立體幾何中有很多問題需要分類討論，如果沒有分類或分類不全就會以偏概全導致錯誤. 比如線或者點的相對位置不確定，或者二面角的大小不能確定是鈍角還是銳角時，就得分類討論.

3. 主觀臆斷、缺乏論證

憑直覺判斷或缺乏論證就下結論是同學們經常犯的毛病，這是學習立體幾何的大忌. 比如同學們在求二面角時，直接從圖或者自己的感覺，沒有嚴密且合理的證明就指出某個角是二面角的平面角.

4. 缺乏空間想象力，缺少構造能力

立體幾何中的題目都需要很強的空間想象力，當然也需要一定的構造能力，比如在球與多面體接、切問題中，經常需要構造相應的某種幾何體的模型，然后利用這種幾何體的性質和相應的方法解題，但是同學們經常因缺乏想象和構造能力而導致解題出錯.

5. 忽視角的取值范圍

立體幾何中常考的角有：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角，它們的取值范圍分別是：0，■、0，■、[0，π]. 同學們若在解題時，忽略了這些角的取值范圍，便會出現很不應該的錯誤.

6. 空間向量法求空間角應注意以下幾點

（1）求異面直線所成的角時，兩個方向向量夾角的余弦值的絕對值為異面直線所成的角的余弦值；

（2）線面角的正弦值等于線的方向向量和面的法向量夾角余弦值的絕對值；

（3）二面角的余弦值大小與兩個法向量的關系是：銳二面角取正值，鈍二面角取負值.

下面關于三棱錐的四個命題，其中正確的是_______.

①底面是等邊三角形，側面與底面所成的二面角相等的三棱錐是正三棱錐；

②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；

③底面是等邊三角形，側面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；

④側棱與底面所成的角相等，且側面與底面所成的二面角相等的三棱錐是正三棱錐.

錯解 ②③

剖析 誤認為②③是正確的.因為正三棱錐滿足②③，所以主觀推測滿足條件②③的三棱錐是正三棱錐；對于④，因為由三角形的內心、外心重合而沒有推出其為正三角形，或者對正三棱錐的概念理解不透，對底面是正三角形、頂點在底面內的射影是底面正三角形的中心這兩個條件把握不準，而妄加判斷.

正解 ①④

一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）

錯解 軸截面如圖1所示，三角形ABS的高OS=R=1，底面邊長AB=2，所以V=■·■AB2·OS=■×■×22×1=■，故選B.

剖析 缺乏空間想象力，對于球與多面體接、切問題應該考察軸截面（即球大圓所在的平面），從而找出球的半徑和多面體之間的關系.

正解 軸截面如圖2所示，高OS=1，由重心性質可得AD=■，所以底面邊長AB=■，所以V=■·■AB2·OS=■×■×（■）2×1=■，故選C.

底面邊長是2，高是1的正四棱錐的相鄰兩側面的夾角的大小是多少？

錯解 如圖4，取PB中點M，連結AM，CM，OM，因為M為等腰三角形底邊上的中點，所以AM⊥PB，同理，CM⊥PB，所以∠AMC是二面角A-PB-C的平面角，因為OP=1，OB=■，所以PB=■，則OM=■. 因為∠AMO=∠CMO，所以tan∠AMO=■=■，所以∠AMC=2∠AMO=2arctan■.

剖析 致錯原因是對二面角的定位不對，沒有從已知條件推理，而是憑視覺觀察，主觀臆斷地認為PA=AB. 事實上，AB=2，PA=■，PA≠AB.

正解 如圖5，連結PO，OB，（O是正方形ABCD的中心）. 在Rt△POB中，作OH⊥PB，垂足為H，連結AH，CH，進而可證得：AC⊥平面PBO和PB⊥平面AHC，所以∠AHC為二面角A-PB-C的平面角，所以tan∠AHO=■=■，所以∠AHC=■.

如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E，F分別為PC，CD的中點.

（1）試證：CD⊥平面BEF；

（2）設PA=k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范圍.

錯解 （2）連結AC交BD于O，交BF于H，連結EO，EH，在四邊形ABCD中，AC⊥BD. 因為BE=DE，O是BD中點，所以EO⊥BD，所以∠EOC為所求二面角. 因為H是AC中點，所以EH∥PA，所以EH⊥平面ABCD，且EH=■PA=■k·AB，而OH=■BH=■·AB，所以tan∠EOC=■=■=■k>■，所以k>■為所求范圍.

剖析 此題的主要錯誤在于把四邊形ABCD中的對角線AC與BD主觀臆斷地認為是垂直的，所以由三垂線定理得出∠EOH是二面角的平面角. 但事實上四邊形ABCD是梯形，得不出AC⊥BD，所以應該另尋二面角的平面角.

正解 （2）連結AC交BF于G. 易知G為AC的中點. 連結EG，則在△PAC中易知EG∥PA. 又因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD. 在底面ABCD中，過G作GH⊥BD，垂足為H，連結EH. 由三垂線定理知EH⊥BD. 從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角. 設AB=a，可得出：GH=■a，EG=■ka，因此tan∠EHG=■=■=■k，由k>0知∠EHG是銳角，故要使∠EHG>30°，解之得：k的取值范圍為k>■.