回歸本質(zhì)，看立體幾何如何求新

立體幾何歷來(lái)是高考改革的一塊試驗(yàn)田，隨著高考改革的不斷深入，獨(dú)具匠心的立體幾何試題層出不窮，常令人目不暇接、望“題”興嘆. 為了讓莘莘學(xué)子摸清立體幾何創(chuàng)新題的命題規(guī)律，本刊試題研究組的老師們精選了5道別具一格的立體幾何試題.

1. 如圖1，在三棱錐O-ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經(jīng)過(guò)三條棱OA，OB，OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S■，S■，S■，則可知S■，S■，S■的大小關(guān)系為________.

2. 圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球（如圖2所示），則球的半徑是__________cm.

3. 若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM，ON上分別有點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則三角形的面積之比為：■=■·■. 若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線OP，OQ和OR上分別有點(diǎn)P1，P2與點(diǎn)Q1，Q2和R1，R2，則類似的結(jié)論為：_______.

4. 如圖3所示，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，已知PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.

（1）求證：CC1⊥MN；

（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EFcos∠DFE. 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.

5. 如圖4，∠ACB=45°，BC=3，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連結(jié)AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖5所示）.

（1）當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大？

（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小.

6. （1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖6，如圖7），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖6、圖7中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明.

（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小.

（3）如果給出的一塊任意三角形的紙片（如圖8），要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖8中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明.

1. 通過(guò)補(bǔ)形，借助長(zhǎng)方體驗(yàn)證結(jié)論，特殊化，令邊長(zhǎng)為1，2，3，得S3

2. 設(shè)球的半徑為r，則由3V球+V水=V柱可得3×■πr3+πr2×8=πr2×6r，解得r=4.

3. 顯然這是平面圖形與立體圖形的類比. 可猜想平面的面積與三棱錐的體積相類比.故猜想■=■·■·■.

4. （1）因?yàn)镻M⊥BB1，PN⊥BB1，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.

（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S■■=S■■+S■■-2S■S■·cosα. 其中α為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角.

因?yàn)镃C1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角為∠MNP. 在△PMN中，因?yàn)镻M2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP，所以PM2·CC■■=PN2·CC■■+MN2·CC■■-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，由于S■=PN·CC1，S■=MN·CC1，S■=PM·BB1=PM·CC1，所以S■■=S■■+S■■-2S■·S■cosα.

5. （1）法1：在如圖4所示的△ABC中，設(shè)BD=x（0

法2：同法1，得VA-BCD=■AD·S△BCD=■（3-x）·■x（3-x）=■（x3-6x2+9x）. 令f（x）=■（x3-6x2+9x），由f ′（x）=■（x-1）（x-3）=0，且00；當(dāng)x∈（1，3）時(shí)， f ′（x）<0. 所以當(dāng)x=1時(shí)， f（x）取得最大值. 故當(dāng)BD=1時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大.

（2）以D為原點(diǎn)，建立如圖9所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

6. （1）如圖10，沿正三角形三邊的中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)正三棱錐；又如圖11，設(shè)正三角形ABC，O為△ABC的中心，作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足依次為D，E，F(xiàn)；過(guò)OD，OE，OF的中點(diǎn)分別作BC，CA，AB的平行線，交于A′，B′，C′；過(guò)A′作AB，AC的垂線A′N，A′M；過(guò)B′作AB，BC的垂線B′P，B′Q；過(guò)C′作BC，AC的垂線C′R，C′S. 由此得到，正三角形A′B′C′，并且四邊形ANA′M，BQB′P，CSC′R可拼成一個(gè)正三角形，以這兩個(gè)正三角形為正三棱柱的上、下底，以矩形A′NPB′，B′QRC′，C′SMA′為側(cè)面構(gòu)成一個(gè)正三棱柱.

（2）設(shè)給出的正三角形紙片的邊長(zhǎng)為2. 那么，正三棱錐和正三棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其面積為■，再計(jì)算它們的高. 設(shè)正三棱錐和正三棱柱的高依次為h1，h2，體積依次為V1，V2.

V2-V1=■·h2-■·■·h1=■>0，所以V2>V1，即正三棱柱的體積大于正三棱錐的體積.

（3）如圖12，仿（1）中正三棱柱的作法，可作出直三棱柱.