空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是學好空間幾何體初步的基礎，掌握好作圖的規則是學好這一部分內容的關鍵，因而落實好基礎，能夠熟練而規范地作出圖形，著力發展空間想象能力是本部分的根本任務.

重點：掌握空間體三視圖的畫法規則，能夠畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等的簡單組合）的三視圖，能識別上述幾何體的三視圖所表示的空間幾何體的模型，并用三視圖解決一些簡單的綜合問題.？搖

難點：識別空間幾何體（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等的簡單組合）的三視圖所表示的幾何體.

1. 了解空間幾何體的三視圖的基本思路

（1）掌握畫空間幾何體的三視圖的兩個基本步驟：第一步，確定三個三視圖的形狀；第二步，將這三個三視圖擺放在平面上. 在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓用虛線表示出來，即“眼見為實，不見為虛”.

（2）弄清三視圖與空間幾何體的幾何量之間的關系. 空間幾何體的數量關系也體現在三視圖中，正視圖和側視圖的“高平等”，正視圖和俯視圖的“長對正”，側視圖和俯視圖的“寬相等”. 其中，正視圖、側視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖的長就是空間幾何體的最大長度，側視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度. 要嚴格按照這個規則畫空間幾何體的三視圖.

2. 畫空間幾何體的三視圖的基本策略

（1）理解三視圖的概念，并能恰當選擇投影面畫三視圖. 通常，總是選擇三個兩兩互相垂直的平面作為投影面. 一個投影面水平放置，叫做水平投影面，光線從幾何體的上面向下面正投影，投影到這個平面內的圖形叫做俯視圖；一個投影面放置在正前方，這個投影面叫做直立投影面，光線從幾何體的前面向后面正投影，投影到這個平面內的圖形中做正視圖；和直立、水平兩個投影面都垂直的投影面叫做側立的投影面，通常把這個平面放在直立投影面的右面，光線從幾何體的左面向右面正投影，投影到這個平面內的圖形叫做側視圖. 將空間圖形向這三個平面作正投影，然后把這三個投影按一定的布局放在一個平面內，這樣構成的圖形叫做空間幾何體的三視圖.

（2）明確平行投影的性質并能靈活應用. 平行投影具有下述性質：①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；③平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；④與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等；⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比.

（3）明確正投影的性質并能靈活應用. 在物體的平行投影中，如果投影線正對著投影面（即投影線與投影面垂直），這樣平行投影即為正投影，正投影除具有平行投影的性質外，還有如下性質：①垂直于投影面的直線或線段的正投影是點；②垂直于投影面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分.

（4）三視圖與直觀圖的相互轉化. 在進行三視圖與直觀圖的相互轉化中，應牢記柱、錐、臺、球等圖形的特征及斜二側畫法的規則和正投影的性質，特別注意側視圖的投影方向.

（5）注意投影規律和作圖規則. 作圖要熟記投影規律：“正側一樣高，正俯一樣長，俯側一樣寬”. 作圖時切記被遮擋的部分應畫成虛線.

1. 畫圖——作出空間幾何體的三視圖

如圖1，E，F分別為正方形的面ADD1A1，BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影不可能為__________.

思索 這是三視圖的一個應用問題，只要從主視圖、俯視圖和左視圖三個方面來著手，就不難解決了.

破解 要判斷圖形的正投影，只要判斷線段的正投影即可，顯然在面ABB1A1，ABCD上的正投影為圖①，在面ADD1A1上的正投影為圖②.答案為③④.

（2012年湖南理）某幾何體的正視圖和側視圖均如圖2所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（ ）

思索 通常先根據俯視圖判斷是多面體還是旋轉體，再結合側視圖和正視圖確定具體的幾何結構特征. 解決這類問題要有較好的空間想象能力. 是近年高考中的熱點題型.

破解 本題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正視圖和側視圖均如圖2所示知，原幾何體下面部分為圓柱或直四棱柱，上面部分是圓柱或直四棱柱或下底是直角三角形的三棱柱. A，B，C都可能是該幾何體的俯視圖，D不可能是該幾何體的俯視圖，因為它的正視圖上面應為中間有一條豎直虛線的矩形. 故選D.

2. 識圖——還原空間幾何體

（2012年湖北文）已知某幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的體積為_____.

思索 本題主要考查簡單組合體的三視圖的識別，體積的計算，空間想象能力及思辨能力. 解題時首先要根據三視圖的特點弄清每一部分幾何體的類別——多面體還是旋轉體，然后找出相應長度的大小.

破解 由三視圖可知，該幾何體是由左右兩個相同的圓柱（底面圓半徑為2，高為1）與中間一個圓柱（底面圓半徑為1，高為4）組合而成，故該幾何體的體積是V=π×22×1×2+π×12×4=12π.

3. 綜合——三視圖的應用

（2008年寧夏文）如圖4所示的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側視圖在下面畫出（單位：cm）.

（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；

（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積.

思索 由多面體的各頂點向下底面ABCD作投影，容易發現俯視圖為長方形去掉一個角，其兩個直角邊都為2.

破解 （1）俯視圖如圖5所示.

（2）由已知，所求多面體的體積為V=V長方體-V正三棱錐=4×4×4-■×■×2×2×2=■（cm2）.

＼本部分內容不難，高考要求不高. 只要抓住概念本質，善于觀察空間幾何圖形，掌握作圖要領，則不難學好. 建議同學們復習時注意以下幾點：

（1）空間幾何體的三視圖的概念：視圖是指將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形. 正（主）視圖——光線從物體的前面向后投射所得的投影；俯視圖——光線從物體的上面向下投射所得的投影；側（左）視圖——光線從物體的左面向右投射所得的投影.

（2）三視圖畫法規則——高平齊：正（主）視圖與側（左）視圖的高要保持平齊；長對正：正（主）視圖與俯視圖的長應對正；寬相等：俯視圖與側（左）視圖的寬度應相等. 即長對正、高平齊、寬相等.

（3）三視圖的形狀特點：平行于投影面圖形的視圖與其全等；垂直于投影面圖形的視圖成為線或點；與投影面斜交面上圖形的視圖發生變化.