空間幾何體的表面積與體積

重點：了解常見幾何體的體積公式和表面積公式，基本幾何體中點、線、面的關系（特別是平行和垂直），掌握三視圖和直觀圖的畫法原理. 另外要熟悉三個關系：一是棱錐之間的轉化關系；二是多面體與球體之間的組合關系；三是三視圖與直觀圖的轉化關系.努力培養觀察能力，尋求不規則幾何體與規則幾何體之間的聯系，掌握必要的“割補”技巧，熟悉空間與平面之間的合理轉化，把握準確切入試題的角度.

難點：其一，怎樣合理地選擇底和高求幾何體的表面積與體積；其二，怎樣恰當地進行“割補”，怎樣進行平面到空間的折疊和空間到平面的展開.

1. 求空間幾何體的表面積與體積的基本步驟

（1）識圖：根據題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關線面的位置關系.

（2）畫圖：根據題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面），作出的圖形要直觀、虛實分明.

（3）變圖：對圖形進行必要的分解、組合，對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉、展開或割補，從不同的角度認識圖形，選擇不同的高和底.

（4）解圖：明確目標三角形，解三角形，求出圖中的數量關系.

2. 求空間幾何體的表面積與體積的基本技巧

（1）表面積和側面積：空間幾何體的面積有側面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區分“是側面積還是表面積”. 多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉體的表面積除了球之外，都是其側面積和底面面積之和.

（2）高：在表面積和體積計算中都離不開 “高”這個幾何量（球除外），因此表面積和體積計算中的關鍵一環就是求出這個量，在計算這個幾何量時要注意多面體中的“特征圖”和旋轉體中的軸截面.

（3）分割：實際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺、球，而是由柱、錐、臺、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體體積的基本方法就是“分解”，將組合體“分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺、球或其一個部分，分別計算其體積”，然后根據組合體的結構，將整體的體積轉化為這些“部分體積”的和或差.

（4）補形：棱錐常常補形為柱體，臺體經常補形為錐體.比如，球面四點P，A，B，C構成的線段PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，則4R2=a2+b2+c2，把有關元素“補形”成為一個球內接正方體（或其他圖形），從而顯示出球的數量特征，這種方法是一種常用的好方法.

（5）展開：在幾何體中求最值時，經常要把幾何體展開為平面圖形，要注意在何處剪開，多面體要選擇一條棱剪開，旋轉體要沿一條母線剪開.

（6）翻折：在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.關鍵是要搞清楚翻折前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關系往往會發生變化；翻折后還在同一個平面上的性質不發生變化，不在同一個平面上的性質發生變化.抓住不變量是解決問題的突破口.

（7）切接：與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接. 解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑. 球與旋轉體的組合，通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖.

如圖1，AA1，BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是線段AA1，CB1的中點，DE⊥面CBB1. 求四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1的體積比.

思索 幾何體的體積常從尋找高開始突破：本題圓柱的底和高已經固定，四棱錐中容易得出CA⊥面ABB1A1，只要再找到CA與圓柱底面圓的半徑之間的數量關系即可，所以只要把幾何體中的條件盡量地轉化到△ABC中，通過解三角形就可以很快地解決此題.

破解 連結EO，OA. 因為E，O分別為B1C，BC的中點，所以EO∥BB1. 又DA∥BB1，且DA=EO=■BB1，所以四邊形AOED是平行四邊形，即DE∥OA. 又DE⊥面CBB1，所以AO⊥面CBB1，所以AO⊥BC，所以AC=AB. 因為BC是底面圓O的直徑，所以CA⊥AB，且AA1⊥CA，所以CA⊥面ABB1A1，即CA為四棱錐C-ABB1A1的高. 設圓柱的高為h，底面半徑為r，則V柱=πr2h，V椎=■h（■r）2=■hr2，V椎∶V柱=■.

■ 如圖2，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=■，DC=2AB=2BC=2，以直線AD為旋轉軸旋轉一周得到幾何體的表面積為（ ）

思索 本題是求旋轉體的表面積：先注意以哪條線段所在的直線為旋轉軸，旋轉所形成什么樣的旋轉體，此幾何體哪些面“暴露”在外，畫出直觀圖，合理分割求出面積之和.

破解 如圖3，該旋轉體是下部一個圓錐，上部一個圓臺，中間被掏空一個圓錐的組合切割體. 其表面積為下部圓錐的側面積、上部圓臺的側面以及上部小圓錐的側面積之和，即S=■×2■π×2+■×（2■π×2-■π×1）+■×■π×1=4■π，答案為A.

■ 一個幾何體的俯視圖是一個圓，用斜二側畫法畫出主視圖和側視圖都是邊長為6和4的平行四邊形，則該幾何體的體積為_____.

思索 本題以斜二測畫法、三視圖為背景的試題：首先由幾何體的俯視圖是圓，可以確定此幾何體為圓柱，其主視圖和側視圖是相同的矩形，再由斜二測畫法畫出的四邊形的邊長得出原矩形的邊長，最后求解該圓柱體積時，莫忘按照矩形底和高的長度分兩類情況討論.

破解 因為斜二側畫法畫出正視圖和俯視圖都是邊長為6和4的平行四邊形，所以主視圖和側視圖的矩形邊長為6和8或4和12，可得圓柱的體積為V=π×32×8=72π或V=π×22×12=48π.

■ 已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球，則以B1為頂點，以平面ACD1被球O所截得的圓為底面的圓錐的全面積為_____.

思索 找到圓錐底面圓的半徑是解題的關鍵，由于正方體的內切球與正方體面的切點是各面的中心，所以平面ACD1被球O所截得的圓為正三角形ACD1的內切圓，求出此圓的半徑，易知圓錐的全面積.

破解 截面是正三角形的內切圓，正三角形的邊長為■，內切圓半徑為■，則截面圓的面積為■，周長為■，圓錐的母線長l=■=■，所以圓錐的側面積為S側=■×■×■=■，所以S全面積

該部分的核心是識圖，是根據圖形（三視圖、直觀圖）想象空間幾何體的具體形狀和其中涉及的線面位置關系和數量關系，對圖形作恰當的變形處理，經常是解決問題的關鍵需要，更是培養思維、空間想象等數學能力的有效途徑，因此建議同學們在復習該部分內容時要充分重視識圖和畫圖的訓練，注重對空間想象能力的培養，突出把握好以下三個方面：

（1）強化根據條件畫出圖形的技巧，形成根據圖形能夠想象出直觀形象的能力.

（2）能正確地分析出圖形中的基本元素及其相互關系，將概念、公式、圖形和推理相結合.

（3）能對圖形進行分解、組合和變形. 要從“作圖、識圖、用圖”諸環節上逐步認識、理解，提升圖形的處理技能，進而實現認識上的飛躍. 比如三視圖的學習常有三個層次：①給出幾何體能畫出三視圖；②給出三視圖畫出幾何體；③給出三視圖求表面積與體積.在平時的復習中，按照“練習曲線”的原則，有針對性地進行訓練.