直線、平面垂直的判定與性質

本部分內容由直線與平面垂直的判定與性質，面面垂直的判定與性質組成. 主要考查線線、線面、面面三種垂直關系的轉化，以及垂直與平行關系的相互轉化.

重點：掌握直線和平面垂直的判定定理和性質定理；掌握兩個平面垂直的判定定理和性質定理，能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發點，運用公理、定理和已獲得的結論，證明一些有關空間中線面垂直的簡單命題.

難點：能否熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直間的相互轉化.

1. 直線、平面垂直關系的基本思路

無論是線面垂直還是面面垂直都源自于線與線的垂直，即不論何種“垂直”都要化歸到“線線垂直”，觀察與分析幾何體中線與線的關系是解題的突破口. 這種轉化為“低維”垂直的思想方法，在解題時非常重要. 在處理實際問題的過程中，可以先從題設條件入手，分析已有的垂直關系，再從結論入手分析所要證明的垂直關系，從而架起已知與未知之間的“橋梁”.

2. 直線、平面垂直關系的基本方法策略

（1）利用判定定理.

（2）利用判定定理的推論.

（3）利用面面平行的性質.

（4）利用線面垂直的性質.

（5）利用面面垂直的定義.

（6）利用面面垂直的判定定理.

（7）線面垂直關系是線線垂直、面面垂直關系中的樞紐，通過線面垂直可以實現線線垂直和面面垂直關系的相互轉化，即

這三者之間的關系非常密切，可以互相轉化，這種轉化方法是本節內容的顯著特征，掌握轉化思想方法是解決空間圖形問題的重要思想方法.

已知a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，且a⊥α，b⊥β，則下列命題中的假命題是（ ）

A. 若a∥b，則α∥β

B. 若α⊥β，則a⊥b

C. 若a，b相交，則α，β相交

D. 若α，β相交，則a，b相交

思索 對這種結構的題目，常常做這樣的處理：先假設某位置關系成立，在此基礎上進行推理，若無矛盾，且推理過程可逆，就肯定這個假設；若有矛盾，就否定這個假設. 立體幾何中概念、定理、性質非常多，只有熟記了，理解了，做立體幾何題才能又快又好，同時注意反例、反證法等方法的使用.

？搖破解 A正確. 因為a∥b，a⊥α，所以b⊥α. 又b⊥β，所以α∥β.

B正確. 設α∩β=l，在α內作c⊥l，因為α⊥β，所以c⊥β，又b⊥β，所以b∥c. 因為a⊥α，所以a⊥c，從而a⊥b.

C正確，若α，β不相交，則α∥β，因為a⊥α，所以α⊥β，又b⊥β，所以a∥b，這與a，b相交矛盾.

D是假命題，因為a，b可以是異面直線，易找出反例驗證. 故選擇D.

（2010遼寧卷文）如圖1，棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC■1B■1是菱形，B■1C⊥A■1B.

（1）證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

（2）設D是A1C1上的點且A■1B∥平面B■1CD，求A1D∶DC1的值.

思索 （1）求證相關垂直問題時，一般遵循：線線垂直→線面垂直→面面垂直. 在論證線線垂直時，注意回憶平面幾何中的相關垂直定理，以及利用線面垂直判定線線垂直等方法.

（2）論證線線垂直、面面垂直問題，均體現出立體幾何證明的基本思想——將空間問題轉化為平面問題.

破解 （1）因為側面BCC■1B■1是菱形，所以B■1C⊥BC1. 又B1C⊥A■1B，且A1B∩BC1=B，所以B1C⊥平面A■1BC■1.又B1C？奐平面AB1C，所以平面AB■1C⊥平面A■1BC■1.

（2）設BC1交B■1C于點E，連結DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線. 因為A1B∥平面B■1CD，所以A■1B∥DE.？搖又E是BC1的中點，所以D為A1C1的中點，即A1D∶DC1=1.

（2011新課標全國卷文）如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD；

（2）若PD=AD=1，求棱錐D-PBC的高.

思索 空間中的線線垂直關系可轉化為線面的垂直關系. 棱錐的高，可以先通過面面垂直，轉化為線面垂直，得出高線，再轉化到三角形內求解.

破解 （1）因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=■AD. 從而BD2+AD2=AB2，可得BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD，所以PA⊥BD.

（2）作DE⊥PB，垂足為E，已知PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD. 所以BC⊥平面PBD，BC⊥DE，則DE⊥平面PBC.？搖由PD=AD=1知BD=■，PB=2. 根據DE·PB=PD·BD，得DE=■，即棱錐D-PBC的高為■.

（2012北京卷文）如圖3甲，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖3乙.

（1）求證：DE∥平面A1CB；

（2）求證：A1F⊥BE；

（3）線段A■1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由.

思索 證明空間中的線線垂直可轉化為證明線面垂直. 考查直線與平面平行、直線與平面垂直關系的相互轉化，考查空間想象能力和推理論證能力.

破解 （1）略.

（2）由已知得AC⊥BC，且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A■■D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A1F. 又A■1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A■1F⊥BE.

（3）線段A1B上存在點Q，可使A1C⊥平面DEQ. 理由如下：如圖4，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC. 又DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由（2）知，DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A■1C，又P 是等腰三角形DA■1C底邊A■1C的中點，所以A■1C⊥DP. 因為DE∩DP=D，所以A■1C⊥平面DEP，從而A■1C⊥平面DEQ. 故線段A■1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ.

1.高考對空間線面關系的考查每年必有一道解答題，難度中低，大多數考生會做而得不到全分，往往因為推理不嚴密，跳步作答所致. 解題過程要表達準確，格式要符合要求，每步推理要有根有據. 計算題要有明確的計算過程，不可跨度太大，以免漏掉得分點，要養成良好的書寫習慣.

2.正方體是立體幾何中的一個聚寶盆，蘊涵線線、線面和面面等空間元素的位置關系，在定理的推證過程中離不開它，在論證或求解立體幾何問題時，也常常在正方體中尋找反例或論證的依據.