降低立體幾何解題難度的必殺技

1. 化歸思想或降維思想是空間問(wèn)題平面化的有效途徑

把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，把空間圖形降維為平面圖形有幾大優(yōu)點(diǎn)：①圖形直觀平鋪；②規(guī)避遮擋的視線；③站在平面幾何知識(shí)的起點(diǎn)上；④減少理解上的困難.

1.1 把空間圖形展開(kāi)還原成平面圖形

抽象而復(fù)雜的空間問(wèn)題是通過(guò)平面圖形折疊、翻轉(zhuǎn)而成，解題中常將其“原樣照印”地鋪開(kāi)，抓住折前折后的不變量，利用二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系和熟悉的平面幾何知識(shí)解題.

如圖1甲，已知在三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開(kāi)，其展開(kāi)圖是一個(gè)直角梯形P1P2P3A（如圖1乙），在三棱錐P-ABC中，

（1）求證：側(cè)棱PB⊥AC；

（2）求側(cè)面PAC與在底面ABC所成的角.

解析 由展開(kāi)圖是直角梯形，易知在立體圖中的一些角度與長(zhǎng)度.

（1）三棱錐沿PA，PB，PC剪開(kāi)成的平面圖形恰好是一個(gè)直角梯形，而P1，P2，P3是重合于立體圖中的P點(diǎn)，所以BP⊥PA，BP⊥PC，所以BP⊥平面PAC，BP⊥AC.

（2）由（1）知BP⊥平面PAC，作BD⊥AC于D，則∠PDB為所求角. 在圖1乙中，作AE⊥CP3于E. 因?yàn)锳P=AC，所以AP3=AC，所以CE=EP3. 設(shè)P1A=x，CE=y，則EP3=y，P2C=CP3=2y，P1B=P2B=2，所以P1P2=4=AE. 由P1A=P2E=3y，即x=3y ①. 在△AEC中，AC2=AE2+EC2，即x2=42+y2 ②，由①②得x=3■，y=■. 因?yàn)镾△ABC=S■-S■-S■-S■=4×3■-■×2×3■-■×2×2■-■×■×4=5■. 所以BD=■=■，所以sin∠PDB=■=■.

1.2 從空間圖形中分離出所需要的平面圖形

對(duì)空間中立體感很強(qiáng)，條件較為分散的圖形，常抓住條件相對(duì)集中的平面，把它們從空間圖形中分離或截取出來(lái)，從而使問(wèn)題獲得解決.

■ 已知A，B，C三點(diǎn)在球心為O，半徑為R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，設(shè)AB兩點(diǎn)的球面距離為a，球O的內(nèi)接正方體EFGH-E′F′G′H′的邊長(zhǎng)與O到平面ABC的距離之比為b，求■.

解析 這是一個(gè)球與錐體、柱體的組合體問(wèn)題，關(guān)鍵是找錐體O-ABC和正方體EFGH-E′F′G′H′在球內(nèi)的截口，畫出△OAB及正方體在球內(nèi)的圓錐剖面圖（如圖2）.

由圖知劣弧AB的長(zhǎng)為■πR，設(shè)D為AB的中點(diǎn). AC⊥BC，即AB為△ABC所在小圓的直徑，由OA=OB=OC知O到平面ABC的距離即為OD=■R，由圖2乙知正方體的邊長(zhǎng)為EE′=■R，于是a=■πR，b=■=■，所以

2. 立體幾何問(wèn)題的代數(shù)化思考

根據(jù)權(quán)威的中學(xué)學(xué)業(yè)報(bào)告分析，大部分同學(xué)學(xué)習(xí)代數(shù)的時(shí)間多于幾何的學(xué)習(xí)時(shí)間，對(duì)代數(shù)的思維敏感度也優(yōu)于幾何的思維敏感度，若解題時(shí)幾何基礎(chǔ)薄弱，思維過(guò)程勢(shì)必受阻，對(duì)于抽象的立體幾何問(wèn)題更是望洋興嘆. 若能將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，比起直接在空間中進(jìn)行點(diǎn)、線、面的圖形演化方便得多.

2.1 通過(guò)設(shè)出立體圖形中的邊或角，把立體幾何轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的邊角關(guān)系計(jì)算

因?yàn)榭臻g圖形由點(diǎn)、線、面組成，設(shè)出圖形中的公共邊或需要用到的角后，可通過(guò)建立邊與角的函數(shù)或代數(shù)方程來(lái)解決問(wèn)題.

■ 如圖3，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在棱CD上，△ABP的面積S在CP=a時(shí)取最小值■，S取最大值■時(shí)，線段CD上的點(diǎn)P有d個(gè). 求a，b，c，d.

解析 設(shè)CP=x，則PD=1-x，于是AP=■，BP=■. 設(shè)PH⊥AB，垂足為H，則有BP2-BH2=PH2=AP2-AH2，移項(xiàng)得BP2-AP2=BH2-AH2=（BH+AH）·（BH-AH），所以（1+x2）-[1+（1-x）2]=AB（BH-

評(píng)析 此題通過(guò)設(shè)邊運(yùn)用純代數(shù)方法求解，若運(yùn)用幾何方法求解，由S△ABP=■AB·PH知只須PH最小，從而PH必為異面直線CD與AB的公垂線，這個(gè)思路也比較自然，但若將“正方體”改成“長(zhǎng)方體”，不用代數(shù)方法而用空間想象構(gòu)建圖形中的最短線段可就難了.

2.2 利用向量工具將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算

證明立體幾何中的線面平行和垂直，計(jì)算空間中的三種角、八種距離均可在建立的空間直角坐標(biāo)系中運(yùn)用向量運(yùn)算解決，最常見(jiàn)到的是利用向量在法向量上的投影公式計(jì)算距離以及利用兩個(gè)向量之間的夾角公式計(jì)算角.

■ 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心.

（1）求證：A1O⊥平面BDE；

（2）求異面直線AB1與A1C間的距離；

（3）求二面角D-A1B-C的平面角.

除此之外，同學(xué)們也要多善于借助實(shí)物引入，更多地觀察了解各種空間圖形，真正理解平面生成空間和空間還原成平面的含義，使得空間問(wèn)題平面化更具有實(shí)效性和科學(xué)性，也同時(shí)為建立代數(shù)運(yùn)算提供實(shí)證性，從而降低空間想象力的梯度和思維的跨度.