2011中考之圖形的認識與全等

中考知識梳理

一、圖形的認識

1. 線段、射線和直線

（1）線段的性質：兩點之間，線段最短.

（2）兩點確定一條直線；兩條直線相交，有且只有一個交點.

（3）線段的垂直平分線是到線段兩個端點距離相等的點的集合. 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；到一條線段的兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

2. 角

（1）角的分類：銳角（0°<α<90°）、直角（90°）、鈍角（90°<α<180°）、平角（180°）、周角（360°）.

（2）互為余角（兩角和為90°）、互為補角（兩角和為180°）.

（3）角平分線是指到角兩邊距離相等的點的集合. 角平分線上的點，到這個角兩邊的距離相等. 到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.

3. 平面上直線的位置關系

（1）對頂角相等.

（2）垂線的基本性質：①經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線. ②垂線段最短.

（3）在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.

（4）①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行. ②在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行. ③平行于同一條直線的兩條直線平行.

（5）①經過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行. ②兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；內錯角相等；同旁內角互補. ③在同一平面內，如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，則也垂直另一條. ④兩條平行線間的距離處處相等. ⑤平行線間的平行線段相等.

二、圖形的全等

1. 概念

（1）能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

（2）能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形. 兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角. 夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角.

（3）記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.

2. 三角形全等的判定

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

（3）邊邊邊定理：三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

（4）對于直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．

中考試題剖析

（2011山東泰安）如圖1，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角頂點C在直線m上，若∠β=20°，則∠α的度數為（ ）

A. 25° B. 30° C. 20° D. 35°

A.

本題考查了平行線的性質，以及等腰直角三角形的性質. 可過點B作已知平行線的平行線，利用平行線性質可以求得∠α+∠β=∠ABC=45°，進而求得∠α的度數為25°，故選A.

（2011浙江紹興）如圖2，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，則∠BED的度數是（ ）

A. 17° B. 34° C. 56° D. 68°

D.

本題考查了角平分線的性質和平行線的性質，可以求得∠ABC=∠CBE=∠BCE=34°，進一步可由三角形外角的性質求得∠BED=68°，也可以利用三角形內角和定理求得∠CEB的度數，再由鄰補角的知識求得∠BED=68°，或者，利用平行線的性質（兩直線平行，內錯角相等）求得∠BED=∠ABE=68°，所以選D.

（2011廣東廣州）已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內，有下列四個命題：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中真命題是________.（填寫所有真命題的序號）

①②④.

本題考查了平行線的性質. 由“在同一平面內，如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，則也垂直另一條”得出①是正確的，由“平行于同一條直線的兩條直線平行”得出②是正確的，由“在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行”可得③是錯誤的，④是正確的.

（2011浙江衢州）如圖3，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，若PA=2，則PQ的最小值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

B.

本題考查了點到直線的距離以及角平分線的性質. 由點到直線的距離定義可知垂線段最短，由角平分線性質可以得到PQ的最小值=PA=2.

（2011安徽蕪湖）如圖4，在△ABC中，∠ABC=45°，點F是高AD和高BE的交點，CD=4，則線段DF的長度為（ ）

A. 2 B. 4

C. 3 D. 4

B.

本題考查了等腰直角三角形的性質，余角的性質以及三角形全等的判定和性質. 由條件可以判定△ABD為等腰直角三角形，因此，BD=AD. 在Rt△ACD與Rt△BCE中，由同角或等角的余角相等可以得到∠CAD=∠FBD，又有∠CDA=∠FDB=90°，所以△ADC≌△BDF. 由全等三角形的性質得DF=CD=4，所以選B.

（2011重慶）如圖5，點A，F，C，D在同一直線上，點B和點E分別在直線AD的兩側，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC. 求證：BC∥EF.

因為AF＝DC，所以AC＝DF. 又∠A＝∠D，AB＝DE，所以△ABC≌△DEF. 所以∠ACB＝∠DFE. 所以BC∥EF.

本題考查了等量公理，全等三角形的判定和性質，以及平行線的判定. 由等量公理（等量加等量和相等）可以得到AC=DF，合并已知條件，由“SAS”可以判定△ABC≌△DEF. 由全等三角形的性質可得∠ACB＝∠DFE. 由平行線的判定（內錯角相等，兩直線平行）可以判定BC∥EF.

（2011四川內江）如圖6，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A，D重合，連結BE，EC. 試猜想線段BE和EC的數量及位置關系，并證明你的猜想.

BE=EC，BE⊥EC. 理由如下：因為AC=2AB，點D是AC的中點，所以AB=AD=CD. 因為∠EAD=∠EDA=45°，所以∠EAB=∠EDC=135°. 因為EA=ED，所以△EAB≌△EDC. 所以∠AEB=∠DEC，EB=EC. 所以∠BEC=∠AED=90°. 所以BE=EC，BE⊥EC.

本題考查了線段中點的定義，等腰直角三角形的定義，鄰補角定義，全等三角形的判定與性質. 由AC=2AB，點D是AC的中點，可得到AB=DC. 因為Rt△AED為等腰直角三角形，所以AE=DE，且∠EAD=∠EDA=45°. 所以∠BAE=∠CDE=135°. 由“SAS”可以判定△EAB≌△EDC，依據全等三角形的性質可以得到EB=EC，∠AEB=∠DEC，所以∠BEC=∠AED=90°. 所以BE=EC，BE⊥EC.