幾何綜合題: 感悟“遞進式”求解策略

初中段幾何知識點眾多，中考要在有限的十幾道考題中最大可能地涵蓋知識點，就得在知識交匯處設計考題，這必然使得幾何綜合題成為考查趨勢，它也就成為了各地中考重點考查內容之一.

（2011廣東廣州）如圖1，在⊙O中，AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC＝45°，在等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，點D在線段AC上．

?搖（1）證明：B，C，E三點共線.

（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN＝OM.

（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）后，記為△D1CE1（如圖2），若M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1＝OM1是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（1）要證明三點共線，即證∠BCE＝180°，這很容易證明. 對于（2），有多種策略，最明顯的策略是根據中點構造中位線，即連結BD，AE，從而利用中位線的性質證明OM⊥ON，且OM＝ON，即得證；也可以連結ON，OA，OC之后，通過證明兩個三角形全等，從而得到OM⊥ON，且OM＝ON，也可得證. 對于（3），只是將第2小題一般化，思路方法與第2小題的證明完全相同．

（1）因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB＝90°. 因為△DCE為等腰直角三角形，所以∠ACE＝90°. 所以∠BCE＝90°＋90°＝180°. 所以B，C，E三點共線．

（2）連結BD，AE，ON．因為∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，所以BC＝AC. 因為DC＝DE，∠ACB＝∠ACE＝90°，所以△BCD≌△ACE. 所以AE＝BD，∠DBE＝∠EAC. 所以∠DBE＋∠BEA＝90°. 所以BD⊥AE. 因為O，N為中點，所以ON∥BD，ON＝BD. 同理OM∥AE，OM＝AE. 所以OM⊥ON，OM＝ON. 所以MN＝OM.

（3）成立，證明如下：旋轉后∠BCD1＝∠BCE1＝90°－∠ACD1，所以仍有△BCD1≌△ACE1. 所以△ACE1是由△BCD1繞點C順時針旋轉90°而得到的，故BD1⊥AE1. 其余證明過程與（2）完全相同，此處略．

證明三點共線，通常是證明以中間點為頂點的角為平角；對于“MN＝OM”這樣的結論，我們首先應該意識到這應該是等腰直角三角形斜邊與直角邊的關系，觀察圖形，確實如此，于是努力證明等腰直角三角形便成了方向；對于圖形變換之后的問題，我們通常可以運用類似的思路與方法求解．本題同學們可能出現的錯誤有兩處：一是無法通過“中點”尋找到突破口，因而無法證明OM⊥ON，且OM＝ON；二是對于旋轉后的圖形，因為變得更復雜，而無法厘清自己的思路，陷入困境．

（2011浙江義烏）如圖3，在等邊三角形ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點（點P與點C不重合），連結BP． 將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P， 連結AA1，射線AA1分別交射線PB和B1B于點E，F．

（1）如圖3，當0°＜α＜60°時，在α的變化過程中，△BEF與△AEP始終存在______關系（填“相似”或“全等”），并說明理由.

（2）如圖4，設∠ABP=β，當60°＜α＜180°時，在α的變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由.

（3）如圖5，當α=60°時，點E，F與點B重合． 已知AB=4，設DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關于x的函數關系式.

（1）從α的變化過程中，不難發現∠PAA1 ＝∠PBB1 ＝=90°－.

又∠PBB1 ＝∠EBF， 所以∠PAE＝∠EBF. 又因為∠BEF＝∠AEP，所以△BEF ∽△AEP．

（2）假設存在△BEF與△AEP全等．

由（1）知∠PAA1＝∠PBB1＝=90°－， ∠BAE＝60°－90°－=－30°．

要使△BEF≌△AEP，只需滿足BE＝AE，即∠BAE＝∠ABE，進而得到α與β之間的數量關系式為－30°=β，即α＝2β+60°．

（3）如圖6，當α=60°時，△PAA1是等邊三角形， 可得A1H＝（2+x）． 在Rt△ABD中，BD＝2， 所以BG＝2－（2+x）=－x．

由旋轉知△APB≌△A1PB1， 所以A1B1＝AA1＝4.

所以S關于x的函數關系式為S△A1BB1 =×4×－x=2－x．

（1）相似，理由如下：由題意得∠APA1＝∠BPB1＝α，AP＝ A1P，BP＝B1P，則∠PAA1 ＝∠PBB1＝=90°－. 因為∠PBB1＝∠EBF，所以∠PAE＝∠EBF. 又因為∠BEF＝∠AEP，所以△BEF∽△AEP.

（2）存在，理由如下：易得△BEF∽△AEP，若要△BEF≌△AEP，只需滿足BE＝AE即可. 所以∠BAE＝∠ABE. 因為∠BAC＝60°，所以∠BAE＝60°－90°－=－30°. 因為∠ABE＝β，∠BAE＝∠ABE，所以－30°=β，即α＝2β+60°.

（3）如圖6，連結BD，交A1B1于點G，過點A1作A1H⊥AC于點H．

因為∠B1A1P＝∠A1PA＝60°，所以A1B1∥AC.

由題意得AP＝A1P，∠A＝60°，所以△PAA1是等邊三角形. 所以A1H＝（2+x）. 在Rt△ABD中，BD＝2，所以BG＝2－#8226;（2+x）=－x. 所以S△A1BB1 =×4×－x=2－x （0≤x＜2）.

?搖對于第2問，關鍵是要能發現并運用關系式“∠PAA1＝∠PBB1＝=90°－與∠ABE＝∠BAE＝60°-∠PAA1”. 對于第3問，要求S關于x的函數關系式，可從△A1BB1的面積入手，關鍵是確定BG和A1B1．

幾何綜合型問題不一定都是難題，對于多知識點交匯處設置的綜合型、基礎型、中檔題問題，它們都可以成為中考命題的熱點之一；另外，中考試卷通過設計幾何綜合型問題實現區分度也是必要的，如圖形運動探究問題、存在性問題等都是近年來熱點題型．善于積累“模式”（或說基本圖形）是提高幾何綜合題解題能力的有效方法．