原創中考壓軸題

中考“壓軸題”承載各地中考試卷的區分功能，近年來，各地投入很大的精力在壓軸題的設計、打磨上，如果同學們認真解讀每份考卷上的壓軸題，都能有所悟、有所得. 為了引導廣大備考師生研究、沖刺壓軸題，我們特邀劉東升老師精心編擬了6道原創中考壓軸題，希望能給大家一些啟發.

原創題1如圖1，拋物線y=x2+bx+c的頂點為M，對稱軸是直線x=1，與x軸的交點為點A（-3，0）和點B． 將拋物線y=x2+bx+c繞點B按逆時針方向旋轉90°，點M1，A1分別為點M，A旋轉后的對應點，旋轉后的拋物線與y軸相交于C，D兩點．

（1）寫出點B的坐標以及拋物線y=x2+bx+c的解析式.

（2）求證A，M，A1三點在同一直線上.

新穎程度：★★★★★

推薦指數：★★★★★

原創題2如圖2，拋物線y=a（x+2）2+k與x軸交于A，O兩點，將拋物線向上平移4個單位長度后得到一條新拋物線，它的頂點在x軸上，新拋物線上的D，E兩點分別是A，O兩點平移后的對應點． 設兩條拋物線、線段AD和線段OE圍成的圖形的面積為S，P（m，n）是新拋物線上的一個動點，且滿足2m2+2m-n-w=0．

（1）求新拋物線的解析式.

（2）當m=-2時，點F的坐標為（-2w，w-4），試判斷直線DF與AE的位置關系，并說明理由.

（3）當w的值最小時，求△AEP的面積與S之間的數量關系．

新穎程度：★★★★☆

推薦指數：★★★★★

原創題3 如圖3，反比例函數y＝與直線y＝-x+2只有一個公共點P，稱P為切點．

（1）若反比例函數y＝－與直線y＝kx＋6只有一個公共點M，則請求出當k＜0時兩個函數的解析式和切點M的坐標.

（2）設（1）問結論中的直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，將∠ABO沿折痕AB翻折，設翻折后的OB邊與x軸交于點C．

① 直接寫出點C的坐標.

② 在經過A，B，C三點的拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使以P，O，M，C為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

新穎程度：★★★☆☆

推薦指數：★★★★☆

原創題4 問題背景在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，AC為底邊向三角形ABC的外側作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且AD⊥AC， AE⊥AB，連結DE，交AB于點F，試探究線段FB，FA之間的數量關系．

探究策略 ①小明是這樣思考的：如圖4，當∠BAC=45°時，作EG⊥AC交AB于點G，則FA=FG.

②小穎是這樣思考的：如圖5，當∠BAC=30°時，作DG∥AE交AB于點G，則FA=FG．

任務要求 （1）小明、小穎的判斷正確嗎？說明理由.

（2）請選擇圖4至圖6中的一個來探究線段FB，FA的數量關系，并說明理由．

（3）小明、小穎繼續研究圖6，結果發現以下兩個結論：①cos∠BAC=；②AD2－AE2=AB2．請你選擇其中之一進行證明．

新穎程度：★★★☆☆

推薦指數：★★★★☆

原創題5 已知二次函數y=mx2與一次函數y=mx-2，點M（1，-1）在直線l：y=mx－2上，點P的坐標為（p，p-2）．

（1）試求出兩個函數的解析式，并在平面直角坐標系下畫出這兩個函數的圖象.

（2）過點P作x軸得平行線交（1）中拋物線于A，B（點A在點B左側），當p為何值時，△AMP為等腰直角三角形？說明理由.

（3）將（1）中拋物線繞原點逆時針旋轉90°后，過點P作y軸平行線交旋轉后的拋物線于C，D兩點（點C在點D上方），當PD=CD時，求四邊形PDOM的面積．

新穎程度：★★★★★

推薦指數：★★★★★

原創題6 在平面直角坐標系xOy中，A，B為反比例函數y=（x>0）圖象上的兩點，A點的橫坐標與B點的縱坐標均為1，將y=（x>0）的圖象繞原點O按順時針方向旋轉90°，點A的對應點為A′，點B的對應點為B′．

（1）求旋轉后圖象的解析式.

（2）求A′，B′的坐標.

（3）連結AB′，動點M從點A出發沿線段AB′以每秒1個單位長度的速度向終點B′運動；動點N同時從B′點出發沿線段B′A′以每秒1個單位長度的速度向終點A′運動，當其中一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為t s，試探究：是否存在使△MNB′為等腰直角三角形的t值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

新穎程度：★★★★☆

推薦指數：★★★★☆