動態變化題: 看清“始終”,找準“拐點”

動態變化問題綜合性強，具有一定的挑戰性，能夠有效地提高試卷的選拔功能和區分度．據筆者統計，90%的省市2011年的中考數學試卷，都對運動型問題進行了考查，而且運動型問題涉及的題量有所增加、分值比例有所提高，預計2012年的中考命題對運動型問題的考查必將延續．

（2011河北）如圖1，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發，沿x軸向右以每秒一個單位長度的速度運動t s（t＞0），拋物線y=x2+bx+c經過點O和點P. 已知矩形ABCD的三個頂點為A（1，0），B（1，－5），D（4，0）.

（1）求c，b（用t的代數式表示）.

（2）當4＜t＜5時，設拋物線分別與線段AB，CD交于點M，N.

①在點P的運動過程中，你認為∠AMP的大小是否會變化？若變化，請說明理由；若不變，求出∠AMP的值.

②求△MPN的面積S與t的函數關系式，并求出t當為何值時，S=.

（3）在矩形ABCD內部（不含邊界），把橫、縱坐標都是整數的點稱為“好點”，若拋物線將這些“好點”分成數量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍．

（1）因為拋物線y=x2+bx+c經過點O和點P，將點O與點P的坐標代入方程即可求得c，b的值.

（2）①當x=1時，y=1-t，可求得點M的坐標，易得AM=AD=t-1，則可求得∠AMP的度數.

②由S=S-S=S+S-S，即可求得關于t的二次函數，當S=時，列方程即可求得t的值.

（3）根據題意，將“好點”分為數量相等的兩部分，可求兩種特殊情況下的t值．將點（2，-3）代入，可求出t=；將點（3，-2）代入，可求出t=．所以＜t＜．

（1）因為點P從原點O出發，沿x軸向右以每秒一個單位長度的速度運動t秒，所以點P的坐標為（t，0）. 因為拋物線y=x2+bx+c經過點O（0，0）和點P（x，0），所以有0=c，0=t2+bt，解得b=-t，c=0.所以b=-t，c=0.

（2）①不變． 當x=1時，y=1-t，故M（1，1-t）. 因為tan∠AMP=1，所以∠AMP=45°．

②S=S+S－S

=（t－4）（4t－16）+［（4t－16）+（t－1）］×3－（t－1）（t－1）

=t2－t+6.

令S=，即得t2－t+6=，解得t=，t=. 因為4＜t＜5，所以t=.

（3）＜t＜．

（1）當已知函數圖象上點的坐標時，代入函數解析式，即可求待定系數；（2）圖形面積的求解方法：①直接利用公式計算，②其他相關圖形面積的和（差）；（3）求取值范圍時，可以求起始位置和終止位置兩個特殊位置的值，從而確定取值范圍．

值得注意的是，本題有幾個易錯點：（2）①中，發現不了AD和AM的等量關系，從而無法確定∠AMP的值；（2）②中，計算S與t的函數關系式時，一是不知道怎么算，二是計算錯誤；（3）求取值范圍時，不會找特殊位置，無法確定取值范圍．

（2011江蘇揚州）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB0）.

（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖2為例說明理由.

（2）若∠ABC=60°，AB=4cm，

①求動點Q的運動速度.

②設Rt△APQ的面積為Scm2，求S與t的函數關系式.

（3）探求BP2，PQ2，CQ2三者之間的數量關系，以圖2為例說明理由．

（1）可以證明兩個三角形中的兩個角對應相等，則兩個三角形一定相似.

（2）①設BP=3，根據△PBM∽△QNM可求得NQ的長，即Q一秒鐘移動的距離，即Q的速度.

②分別用時間t表示出AP，AQ的長，根據直角三角形的面積即可求得函數解析式．

（1）△PBM與△QNM相似，理由如下：因為MN⊥BC，MQ⊥MP，所以∠NMB=∠PMQ=∠BAC=90°. 所以∠PMB=∠QMN，∠QNM=∠B=90°-∠C. 所以△PBM∽△QNM.

（2）①因為∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=4，BP=t，所以AB=BM=CM=4，MN=4. 因為△PBM∽△QNM，所以=，即==. 因為點P的運動速度是cm/s，所以點Q的運動速度是1 cm/s．

②如圖3，當0

如圖4，當t≥4時，AP=t－4，AQ=4+t，所以 S=（4+t）#8226;（t－4）=－（16－t2）=t2－8. 所以S=－t2+8，0

（3）BP2＋CQ2=PQ2，理由如下：因為BP=t，所以BP2=3t2. 因為CQ=8-t，所以CQ2=（8－t）2=64－16t+t2. 因為PQ2=（4+t）2+3（4-t）2=4t2+16t+64，所以BP2＋CQ2=PQ2．

本題的意圖就是考查分類討論，如何制定分類標準. 如果同學們在第一問求解后思考“在運動的所有過程中△PBM與△QNM相似始終成立嗎”，這樣自然而然地就會去思考點P的運動路徑，從而為解決第2問提供了一個很好的方向. 這也體現了“以退為進”的策略．

動態變化型問題是指隨著圖形的某一元素的運動變化，導致問題的結論或改變、或保持不變的綜合題．這類試題有較強的綜合性，需用運動變化的眼光觀察問題、研究問題，整體把握動態過程，并特別關注運動變化中的不變量、不變關系或特殊關系，綜合運用函數、方程、圖形性質等知識以及分類討論、數形結合等思想，展示了數學的創造過程．

動態幾何問題是近十年來的經典綜合題，可以由多種載體來命題，往往與函數聯合，又體現著分類討論思想．處理這類問題的關鍵是弄清楚運動過程中的一些特殊位置（或極限位置或“拐點”位置）. 把動態問題轉變成靜態問題進行解決.

一般來說，選取有代表性的動態問題深入研究后，應該都能悟出求解此類問題的“程序”. 很多同學都對這類動態變化題具有一定的畏懼心理，其實，萬變不離其宗，只要深入研究，同學們便會不難發現其中的變化趨勢與內線聯系. 需提醒的是，同學們在學習的過程中，一定要全方位考慮，多鍛煉自己各方面的能力，因為綜合題需要的是綜合能力.