方案設計題: 排除干擾,精準“建模”

方案設計題形式活潑、情景新穎別致，能夠有效培養同學們的動手實踐能力、自主探究能力. 這類試題在中考試題中所占比例呈逐漸上升趨勢. 預計2012年此類試題仍將會繼續沿著創新、操作設計方面進行改革，注重情境的新穎，凸顯時代的熱點．

（2011黑龍江黑河）建華小區準備新建50個停車位，以解決小區停車難的問題. 已知新建1個地上停車位和1個地下停車位需0.5萬元；新建3個地上停車位和2個地下停車位需1.1萬元.

（1）該小區新建1個地上停車位和1個地下停車位各需多少萬元？

（2）若該小區預計投資金額超過10萬元而不超過11萬元，則共有幾種建造方案？

（3）已知每個地上停車位月租金100元，每個地下停車位月租金300元. 在（2）的條件下，新建停車位全部租出. 若該小區將第一個月租金收入中的3600元用于舊車位的維修，其余收入繼續興建新車位，恰好用完，請直接寫出該小區選擇的是哪種建造方案.

（1）選用二元一次方程組模型即可處理.

﹙2﹚抓住關鍵句子“超過10萬元而不超過11萬元”建立不等式組模型，分析出符合題意的整數解.

﹙3﹚在（2）的條件下，第一個月租金對應為0.9萬元，0.88萬元，0.86萬元，0.84萬元，減去3600元（0.36萬元）后對應為0.54萬元，0.52萬元，0.5萬元，0.48萬元.只有0.5萬元符合題意.所以建造方案是：建造32個地上停車位，18個地下停車位．

（1）設新建一個地上停車位需x萬元，新建一個地下停車位需y萬元，由題意得x+y=0.5，3x+2y=1.1， 解得x=0.1，y=0.4， 所以新建一個地上停車位需0.1萬元，新建一個地下停車位需0.4萬元.

﹙2﹚設新建m個地上停車位，則有10<0.1m＋0.4（50－m）≤11，解得30≤m＜. 因為m為整數，所以m＝30或m＝31或m＝32或m＝33， 對應的50-m=20或50-m=19或50-m=18或50-m=17，所以有四種建造方案．

﹙3﹚建造方案是建造32個地上停車位，18個地下停車位．

?搖以建造地上停車位和地下停車位的個數不同、花的費用不同作為等量關系列出方程求解，根據投入的資金列出不等量關系，根據該小區將第一個月租金收入中的3600元用于舊車位的維修，其余收入繼續興建新車位，恰好用完，找到方案．

（2011貴州六盤水）小明家有一塊長8 m、寬6 m的矩形空地，媽媽準備在該空地上建造一個花園，并使花園面積為空地面積的一半，小明設計了如下的四種方案供媽媽挑選，請你選擇其中的一種方案幫小明求出圖中的x值.

結合各種方案的圖形，利用面積建立一元二次方程模型進行求解后再比較.

方案一，根據題意得（8－x）（6－x）=×8×6，解得x＝12，x＝2. x不合題意，舍去，所以x＝2.

方案二，根據題意得（8－2x）（6－2x）=×8×6，解得x＝6，x＝1. x不合題意，舍去，所以x＝1.

方案三，根據題意得8×6－×（8－x）（6－x）×2=×8×6，解得x＝12，x＝2. x不合題意，舍去，所以x＝2.

方案四，根據題意得8×6－×（8－x）（6－x）×2=×8×6，解得x＝12，x＝2. x不合題意，舍去，所以x＝2.

?搖掌握不規則圖形陰影部分面積常見轉化方法，進而選用方程模型求解是解答此類問題的關鍵. 需要指出的是，本題易錯點在于求出一元二次方程的解后，由于兩個根都是正數，因此容易產生不符合題意的解，一定要檢驗．

（2011江蘇鎮江）已知：如圖1，圖形①滿足AD=AB，MD=MB， ∠A=72°， ∠M=144°，圖形②與圖形①恰好拼成一個菱形（如圖2）. 記AB的長度為a，BM的長度為b.

（1）圖①中∠B=____，圖中②中∠E=_____.

（2）小明有兩種紙片各若干張，其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同，這種紙片稱為“風箏一號”，另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同，這種紙片稱為“飛鏢一號”.

①小明僅由“風箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形，需要這種紙片______張.

②小明用若干張“風箏一號”和“飛鏢一號”紙片拼成一個“大風箏”（如圖3），其中∠P=72°， ∠Q=144°，PI=PJ=a+b，IQ=JQ. 請你在圖中畫出拼接線并保留畫圖痕跡. （本題中均為無重疊、無縫隙拼接）

對于（1），可連結AM，然后利用三角形的全等求出∠B，∠E的度數.

（2）若全部用“風箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形，很明顯AB與AD是作為中心點與頂點的連線的，BM與DM是作為邊長的，因為一個“風箏一號”含有兩條邊，則5個“風箏一號”紙片即可拼成一個邊長為b的正十邊形；小明用若干張“風箏一號”和 “飛鏢一號”紙片拼成一個“大風箏”過程中，可通過拼好的圖形，分析、切割，找到拼接的方法，然后再動手畫出圖形.

（1）∠B=72°，∠E=36°.

（2）①用“風箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形，可知“風箏一號”紙片的點A與正十邊形的中心重合，又∠A=72°，則需要這種紙片的數量為5個.

②根據題意可知，“風箏一號”紙片用兩張和“飛鏢一號”紙片用一張，畫出拼接線如圖4所示.

?搖讀懂所給數據及圖形的含義，利用數形結合的思想考慮是解決本類問題的關鍵. 特別地，有些同學不能快速、順利拼出圖形，是原于“思維定式”的干擾，沒有想到這兩個基本圖形可旋轉變換，用不同位置狀態進行拼接．

操作、方案設計型問題是指通過動手測量、作圖等實驗，猜想獲得數學結論的探索研究性活動，這類活動不但有助于培養實踐能力和創新能力，而且有助于養成實驗研究的習慣，符合新課程標準特別強調的發現式學習、探究式學習和研究式學習的指導思想，培養樂于動手、勤于實踐的意識和習慣，切實提高動手能力、實踐能力．求解此類問題的關鍵在于排除干擾、選準模型（方程、函數、不等式或幾何模型）．