突破疑難我有招

《簡單的幾何圖形》作為初中幾何的第一部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形、四邊形以及圓等復(fù)雜圖形的基礎(chǔ). 因此，解決好本節(jié)的疑難問題，并且掌握一些常見的解題方法，也直接為后面的學(xué)習(xí)服務(wù). 其主要類型有動手操作型、歸納探究型、學(xué)具拼接型、構(gòu)造型、幾何計(jì)數(shù)型、閱讀理解型、面積綜合型、基本作圖型.

（2011河北）將圖1圍成圖2的正方體，則圖1中的紅心“”標(biāo)志所在的正方形是圖2正方體中的（ ）

A． 面CDHE B． 面BCEF

C． 面ABFG D． 面ADHG

此題可以從兩個(gè)方面入手. 一是利用想象法來解，即關(guān)注圖1中帶有紅心的上面的那個(gè)等邊三角形，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)等邊三角形的一條邊在紅心所在的面上，而等邊三角形所在的面與紅心所在的面相鄰，故選A. 另外，也可以運(yùn)用操作法來解，即自己先畫出左邊的圖形，再剪下折疊一下即可得到正確答案.

A.

（1）美術(shù)課上，老師要求同學(xué)們將圖3所示的白紙只沿虛線剪開，用裁開的紙片和白紙上的陰影部份圍成一個(gè)立體模型，然后放在桌面上，下面四個(gè)示意圖中，只有一個(gè)符合上述要求，那么這個(gè)示意圖是（ ）

（2）下面四個(gè)選項(xiàng)是某長方體的展開圖，其中錯(cuò)誤的是（ ）

（2011江蘇連云港）某課題研究小組就圖形面積問題進(jìn)行專題研究，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

（1）有一條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于這條邊上的對應(yīng)高之比；

（2）有一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比；

……

現(xiàn)請你對下面問題進(jìn)行探究，探究過程可直接應(yīng)用上述結(jié)論（S表示面積）.

問題1：如圖4，現(xiàn)有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC. 經(jīng)探究，S四邊形P1R1R2P2=S△ABC，請證明.

問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的△ABC拼合成四邊形ABCD，如圖5，Q1，Q2三等分邊DC. 請?zhí)骄縎四邊形P1Q1Q2P2與S四邊形ABCD之間的數(shù)量關(guān)系.

問題3：如圖6，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC. 若S四邊形ABCD=1，求S四邊形P2Q2Q3P3 .

問題4：如圖7，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個(gè)部分，面積分別為S1，S2，S3，S4 . 請直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個(gè)等式.

對于問題1，由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面積比是對應(yīng)邊的比的平方的性質(zhì)可得. 在問題2中，由問題1的結(jié)果和所給結(jié)論（2）——有一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比即可得到答案. 在解問題3時(shí)，由問題2的結(jié)果經(jīng)過等量代換可求. 對于問題4，由問題2可知S1＋S4＝S2＋S3=S四邊形ABCD .

問題1：因?yàn)镻1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC，所以P1R1∥P2R2∥BC． 所以△AP1R1∽△AP2R2∽△ABC，且面積比為1 ∶ 4 ∶ 9． 所以S四邊形P1R1R2P2 ＝S△ABC＝S△ABC .

問題2：連結(jié)Q1R1，Q2R2，如圖8，由問題1的結(jié)論可知S四邊形P1P2R2R1＝S△ABC，S四邊形Q1Q2R2R1=S△ACD . 所以S四邊形P1P2R2R1+S四邊形Q1R1R2Q2＝S四邊形ABCD . 又因?yàn)镻1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC，Q1，Q2三等分邊DC，可得P1R1 ∶ P2R2＝Q2R2 ∶ Q1R1＝1 ∶ 2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1 ． 所以∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A． 所以∠P1R1Q1＝∠P2R2Q2 ． 由結(jié)論（2）可知S△P1R1Q1=S△P2R2Q2． 所以S四邊形P1Q1Q2P2＝S四邊形P1P2R2R1＋S四邊形Q1R1R2Q2＝S四邊形ABCD ．

問題3：設(shè)S四邊形P1Q1Q2P2=A，S四邊形P3Q3Q4P4=B，S四邊形P2Q2Q3P3=C，由問題2的結(jié)論可知A=S四邊形ADQ3P3，B=S四邊形P2Q2CB，所以A+B=（S四邊形ABCD＋C）= （1+C）．

又因?yàn)镃＝（A+B+C），即C＝（1＋C）＋C． 整理得C=，即S四邊形P2Q2Q3P3=.

問題4：S1＋S4＝S2＋S3 ．

平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

（1）AB平行于CD．如圖9，點(diǎn)P在AB，CD外部時(shí)，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，所以∠BPD=∠B-∠D． 如圖10，將點(diǎn)P移到AB，CD內(nèi)部，以上結(jié)論是否成立？若不成立，則∠BPD，∠B，∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論.

（2）在圖10中，將直線AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖11，則∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）.

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖12中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．