全等圖形難點透視

全等圖形是解決幾何問題的一把利劍，它是研究圖形的重要工具． 利用全等圖形的知識，不但可以證明線段與線段、角與角相等的關系，而且可以與四邊形、圓、函數等知識結合起來解決一些綜合性較強的問題．因此，圖形的全等是初中數學的重點內容，也是中考的必考內容． 為了便于同學們更好地掌握和靈活應用全等圖形的知識，下面針對這部分知識的難點一一給以透視.

一位哲人說過，世界上沒有完全相同的兩片樹葉，但是在我們的生活中卻存在著許多形狀和大小完全相同的圖案，我們把這種能夠完成重合的兩個圖形叫做全等形．根據全等圖形的定義，兩個全等圖形的面積一定相等，我們要善于利用它的這一性質解決問題．

（2009浙江義烏）（1）如圖1，正方形網格中有一個平行四邊形，請在圖1中畫一條直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分.

（2）把圖2中的平行四邊形分割成四個全等的四邊形（要求在圖2中畫出分割線），并把所得的四個全等的四邊形在圖3中拼成一個軸對稱圖形或中心對稱圖形，使所得圖形與原圖形不全等且各個頂點都落在格點上．

（1）一條直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，這條直線只要經過平行四邊形對角線的交點即可． 因為經過平行四邊形對角線交點的直線把平行四邊形分成全等的兩個圖形，當然它們的面積也相等．

（2）此問題具有一定的開放性，解決問題的方案有多種，只要符合要求即可． 由（1）可知，可先經過對角線的交點把原平行四邊形分成兩個全等的小平行四邊形，再把每個小平行四邊形分成兩個全等的梯形．

（1）連結平行四邊形的對角線找到對角線的交點，然后過交點任作一直線把平行四邊形分成兩個全等的三角形或全等的四邊形即可，圖略.

（2）先分平行四邊形為四個全等的直角梯形（如圖4），然后按要求拼成一個軸對稱圖形或中心對稱圖形即可，以下給出兩種設計方案，如圖5和圖6.

可把大小為4×4的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形，如圖7． 下面請同學們沿著虛線畫出四種不同的分法，把4×4的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形．

根據全等三角形的定義——能夠完全重合的兩個三角形全等可以得出，全等三角形的對應邊相等、對應角相等． 這個結論非常重要，它是證明線段和角相等以及倍數關系的理論依據． 然而，一般情況下，題目中并不會有現成的全等三角形，而要求我們先尋找全等的條件，證明三角形全等，綜合應用全等的判定與性質，問題才能得以解決．

（2011四川內江）如圖8，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與點A，D重合，連結BE，EC． 試猜想線段BE和EC的數量及位置關系，并證明你的猜想．

找線段BE和EC的數量關系首先看它們是不是相等，由于這兩條線段在△ABE和△DCE中，如果能證明△ABE≌△DCE，就可以得出BE=EC；求線段BE和EC的位置關系就是判斷BE和EC是不是垂直，如果能證得∠BEC=90°，問題便得以解決.

猜想結論：BE=EC，BE⊥EC． 理由如下：因為AC=2AB，點D是AC的中點，所以AB=AD=CD. 又因為∠EAD=∠EDA=45°，所以∠EAB=∠EDC=135°. 而EA=ED，所以△EAB≌△EDC（SAS）． 所以∠AEB=∠DEC，EB=EC. 所以∠BEC=∠AED=90°. 所以BE=EC，BE⊥EC ．

（1）如圖9，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且∠DAB=30°． 有以下四個結論：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF； ③點O為BC的中點； ④AG ∶ DE= ∶ 4，其中正確結論的序號是________．

（2）如圖10，點D，E分別在AB，AC上．

①已知，BD=CE，CD=BE，求證：AB=AC.

②分別將“BD=CE”記為①，“CD=BE” 記為②，“AB=AC”記為③． ③為先決條件，并添加條件①，以②為結論構成命題1，③為先決條件，并添加條件②，以①為結論構成命題2． 命題1是命題2的______命題，命題2是______命題．

由于全等三角形是證明線段、角的數量關系的有力工具，所以中考試題中常常把對全等三角形的考查置于其他圖形中，特別是與函數知識相結合．解題時要善于從圖形中尋找全等三角形，或者是通過添加輔助線構造全等三角形來幫助問題的求解．

（2011吉林）如圖11，在平面直角坐標系中，直線y=－2x+2與 x軸、y軸分別交于點A，B，四邊形ABCD是正方形，雙曲線y=在第一象限經過點D，求雙曲線的函數解析式．

可過點D作DE⊥x軸于點E，先確定A，B兩點的坐標，再通過△AOB≌△DEA確定點D的坐標，將點D坐標代入y=即可確定解析式.

（1）過點D作DE⊥x軸于點E． 因為直線y=－2x+2分別與x軸、y軸交于點A和點B，而當x=0時，y=2，所以OB=2． 當y=0時，x=1，所以OA=1． 因為四邊形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AB=AD． 所以∠BAO+∠DAE=90°． 因為∠ADE+∠DAE=90°，所以∠BAO=∠ADE． 因為∠AOB=∠DEA=90°，所以△AOB ≌ △DEA． 所以DE=AO=1，AE=BO=2. 所以OE=3，DE=1． 所以點D的坐標為（3，1）． 把（3，1）代入y=中，得k=3，所以y= ．

如圖12，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點C在y軸正半軸上，B（4，2），一次函數y=kx-1的圖象平分等腰梯形的面積，關于x的函數y=mx2-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點，求m的值．