巧解三條線段和的最值

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)正是因?yàn)椴粩嗟赜行聠?wèn)題的提出和不斷地被解決才充滿蓬勃的生命力．最值問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)，也是得分的難點(diǎn)，命題者的精心打造，使試題不斷更新、富有創(chuàng)意，其中三條線段和的最值問(wèn)題對(duì)能力要求較高，也使同學(xué)們頗感困惑，本文以近年中考題為例，探究此類問(wèn)題的解法，與大家分享．

（2011湖北咸寧）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．

（1）直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并求直線AB與CD交點(diǎn)N的坐標(biāo).

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連結(jié)MP，MH，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值.

②點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，問(wèn)BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1）A（-3，0），B（0，4），N-，2.

（2）①1或.

②BP+PH+HQ有最小值. 連結(jié)PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形． 所以BP=CH. 所以BP+PH+HQ=CH+HQ+2． 當(dāng)點(diǎn)C，H，Q在同一直線上時(shí)，CH+HQ的值最小． 因?yàn)辄c(diǎn)C，Q的坐標(biāo)分別為（0，2），（-6，-4），所以直線CQ的解析式為y=x+2. 所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-2，0）. 因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）．

BP+PH+HQ中PH=CO=2，故只需求BP+HQ的最小值. 注意到PH∥BC，且PH=BC，從而可將BP平移至CH，轉(zhuǎn)化為求CH+HQ的最小值，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”知當(dāng)C，H，Q三點(diǎn)共線時(shí)，CH+HQ=CQ最?。?/p>

（2010福建寧德）如圖2，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連結(jié)EN，AM，CM.

（1）求證：△AMB≌△ENB.

（2）①當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，AM＋CM的值最??？

②當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最??？說(shuō)明理由.

（3）當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

（1）略.

（2）①當(dāng)點(diǎn)M落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最小，理由略.

②連結(jié)CE，當(dāng)點(diǎn)M位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：連結(jié)MN. 由①知△AMB≌△ENB，所以AM＝EN. 因?yàn)椤螹BN＝60°，MB＝NB，所以△BMN是等邊三角形. 所以BM＝MN. 所以AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短. 所以當(dāng)點(diǎn)M位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).

（3）正方形的邊長(zhǎng)為.

本題（2）②要探究點(diǎn)M的位置，使三條線段和的值最小，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)證出第（1）小題后得到AM=EN，再由等邊三角形得BM=MN，將求AM＋BM＋CM的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求EN+MN+CM的最小值. 最后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”知當(dāng)E，N，M，C四點(diǎn)共線時(shí)，EN+MN+CM=EC最小．

（2011福建福州）已知，如圖3，二次函數(shù)y=ax2+2ax-3a（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），點(diǎn)H，B關(guān)于直線l：y=x+對(duì)稱．

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上.

（2）求二次函數(shù)的解析式.

（3）過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于點(diǎn)K，M，N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)HN，NM，MK，求HN+NM+MK的最小值．

（1）A（-3，0），B（1，0），證明略.

（2）y=-x2-x+.

（3）直線AH的解析式為y=x+3， 直線BK的解析式為y=x－，由y=x+，y=x-， 解得x=3，y=2， 即K（3，2），則BK=4. 如圖4，因?yàn)辄c(diǎn)H，B關(guān)于直線AK對(duì)稱，所以HN+MN的最小值是MB. 過(guò)點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連結(jié)QK，交直線AH于點(diǎn)E，作KD⊥x軸于點(diǎn)D，則KD=KE=2. QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK. 所以BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值. 因?yàn)锽K∥AH，所以∠BKQ=∠HEQ=90°. 由勾股定理得QB=8， 所以HN+NM+MK的最小值為8.

本題的難點(diǎn)是HN+NM+MK中有M，N兩個(gè)點(diǎn)在動(dòng)，注意到點(diǎn)H，B關(guān)于直線AK對(duì)稱，得出HN+MN=BN+MN，過(guò)點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連結(jié)QK，交直線AH于點(diǎn)E，得MK=MQ，于是HN+NM+MK=BN+MN+MQ. 利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”知當(dāng)Q，M，N，B四點(diǎn)共線時(shí)BN+MN+MQ最小，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，從而問(wèn)題得解.

（2011四川眉山）如圖5，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（－4，4）． 將點(diǎn)B繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2，試說(shuō)明d2=d1+1.

（3）在（2）的條件下，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)有最小值，并求出△PAC周長(zhǎng)的最小值．

（1）y=x2，C（3，5）.

（2）略.

（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，由（1）可得AC=5，所以△PAC的周長(zhǎng)=PA+PC+5，由（2）可得△PAC的周長(zhǎng)=PH+PC+6. 因?yàn)楫?dāng)C，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，PH+PC最小，所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為3，時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小，最小值為11．

△PAC的周長(zhǎng)涉及三條線段的和，其中AC為定長(zhǎng)，故只需求PA+PC的最小值. 但由于點(diǎn)P在拋物線上，不能套用“對(duì)稱點(diǎn)法”求解，注意到第（2）小題可用PH+1代換PA，可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PH+PC的最小值. 利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”知當(dāng)C，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，PH+PC=CH最小，從而問(wèn)題得解．

此類題的最大特點(diǎn)是找“替身”以實(shí)現(xiàn)“等量轉(zhuǎn)化”. 可以利用幾何變換或等線段代換，將相關(guān)線段適當(dāng)集中，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理進(jìn)行解決. 全等、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)都是解決此類問(wèn)題的得力助手.