全等轉相似 比值易相見

我們常常會發現一類中考題：先給出特殊圖形（如正方形、等邊三角形）或特殊情形下線段的相等關系（讓讀者給出證明理由），然后弱化圖形（當然圖形之間具有種屬關系，如變為矩形、菱形）或條件，探究原來兩條線段的比值. 解決這類問題的思路就是沿著原來的特殊情況思考，看原來的全等三角形的全等關系是否還成立，若不成立，試一試能否證明它們相似.

小麗參加數學興趣小組活動，提供了下面3個有聯系的問題，請你幫助解決：

（1）如圖1，在正方形ABCD中，作AE交BC于點E，DF⊥AE交AB于點F，求證：AE=DF.

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F分別在AD，BC上，點G，H分別在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值.

（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E，F分別在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．

（1）全等三角形是我們證明線段相等的一個重要方法，為此我們只要尋找到△ABE與△DAF全等的條件，問題便可獲解. 由DF⊥AE知∠AEB=90°－∠BAE=∠AFD，又因為AB=AD，∠ABE=∠DAF =90°，所以△ABE≌△DAF. 所以AE=DF．

（2）借助平移可以將問題（2）轉化為問題（1）解決. 為此可過點A作AM∥EF交BC于點M，過點D作DN∥GH交AB于點N（如圖4），由平行四邊形的性質容易得到AM=EF，DN=GH．由（1）知，△ADN≌△BAM，所以AM=DN. 所以EF=GH，即=1．

（3）如圖5，作AM∥EF交BC于點M，作DN∥GH交AB于點N，則AM=EF，DN=GH． 因為EF⊥GH，所以AM⊥DN. 所以∠AMB=90°－∠BAM=∠AND. 又因為∠ABM=∠DAN=90°，所以△ABM∽△DAN. 所以==． 所以=．

本題解決問題的思維方法滲透了轉化思想，轉化的方法是利用線段的平移變換，平移的目的是溯本求源，構造一對與全等對應的相似三角形，從而求出線段的比值.

（2011山東臨沂）如圖6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G．

（1）求證：EF=EG.

（2）如圖7，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

（3）如圖8，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經過點B，其他條件不變，若AB=a，BC=b，求的值．

（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB. 又由正方形的性質，可利用“ASA”證得Rt△FED≌Rt△EGB，問題得證.

（2）可過點E分別作BC，CD的垂線，垂足分別為H，I，然后利用“ASA”證得Rt△FEI≌Rt△GEH，問題得證.

（3）可過點E分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M，N，易證得EM∥AB，EN∥AD，則可證得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB. 又由有兩角對應相等的三角形相似，證得△GME∽△FNE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

（1）因為∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，所以∠DEF=∠GEB. 又因為ED=BE，所以Rt△FED≌Rt△EGB. 所以EF=EG.

（2）成立，理由如下：如圖9，過點E分別作BC，CD的垂線，垂足分別為H，I，則EH=EI，∠HEI=90°. 因為∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，所以∠IEF=∠GEH. 所以Rt△FEI≌ Rt△GEH. 所以EF=EG.

（3）如圖10，過點E分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M，N，則∠MEN=90°，所以EM∥AB，EN∥AD．所以△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB. 所以=，=. 所以= ，即==. 因為∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，所以∠GEM=∠FEN. 因為∠GME=∠FNE=90°，所以△GME∽△FNE. 所以=. 所以=.

本題的思維方法，是以問題（1）的思考方法及圖6的圖形結構為基本框架，把問題（2）和問題（3）通過作輔助線構造出全等三角形或相似三角形，然后“按圖索驥”，思維拾級而上觸及問題的本質，這同樣滲透轉化的數學思想及數形結合思想. 此題綜合地考查了正方形和矩形的性質，以及全等三角形和相似三角形的判定與性質．

如圖11，四邊形ABCD是正方形，點G是CD邊上的一個動點（點G與C，D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE． 我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：

（1）①猜想圖11中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系.

②將圖11中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度α，得到如圖12或圖13的情形． 請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖12證明你的判斷．

（2）將原題中的正方形改為矩形（如圖14~16），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k>0），第（1）題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖15為例簡要說明理由．

（1）①BG=DE，BG⊥DE. ②BG=DE，BG⊥DE仍然成立. 對于圖12來說，證明如下：因為四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，所以BC=CD，CG=CE， ∠BCD=∠ECG=90°. 所以∠BCG=∠DCE. 所以△BCG≌△DCE（SAS）. 所以BG=DE，∠CBG=∠CDE. 又因為∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，所以∠CDE+∠DHO=90°. 所以∠DOH=90°. 所以BG⊥DE.

（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立， 此時=. 簡要說明如下：因為四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形，且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka(a≠b，k>0)，所以 ==，∠BCD=∠ECG=90°. 所以∠BCG=∠DCE. 所以△BCG∽△DCE. 所以==. 所以∠CBG=∠CDE. 又因為∠BHC=∠DHO， ∠CBG+∠BHC=90°，所以∠CDE+∠DHO=90°. 所以∠DOH=90°. 所以BG⊥DE. 從上述圖形對本質屬性探索的過程中，可以發現，每道題至少有兩個問，第一問是猜想或證明兩條線段的數量關系或位置關系，并探究結論成立的理由，第二問是將原圖形中某一部分進行變換（平移、旋轉等），使圖形位置發生變化，產生新的問題情景，再去繼續探究新情景中原結論是否成立. 或者類比、聯想，即根據事物相同或相似的屬性用“種屬”相同幾何圖形去替換，進行拓展、推廣，探究原來性質的變與不變. 這類問題實質上是考查原來論證的思路和方法是否可行. 解決此類問題應利用圖形運動變化中某一時刻“靜止”的位置，挖掘出其中的“變與不變的因素——全等與相似”，沿著設置的“路標”，添加適當的輔助線，按圖索驥，方能以“不變”應“萬變”，獲得問題的答案.