峰回路轉(zhuǎn)一線添

《圓》是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)章節(jié)，其知識(shí)內(nèi)容豐富，解題方法眾多，數(shù)學(xué)思維靈活，知識(shí)點(diǎn)前后聯(lián)系密切，為同學(xué)們圓滿完成初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)設(shè)置了重重障礙，尤其是層出不窮的輔助線，更讓莘莘學(xué)子望而怯步、望“線”生畏． 因此，要想學(xué)好《圓》的相關(guān)知識(shí)，同學(xué)們須掌握?qǐng)A中常用輔助線的作法，通過“一線破天機(jī)”實(shí)現(xiàn)“船到橋頭自然直”的最佳狀態(tài)．

作直徑

如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，AE是⊙O的直徑，CD是△ABC中AB邊上的高，求證：AC·BC= CD·AE.

將等積式轉(zhuǎn)化為比例式，構(gòu)造相似三角形. 由△ADC為直角三角形容易想到構(gòu)造直角三角形，結(jié)合AE是⊙O的直徑這一已知條件，容易想到作出直徑所對(duì)的圓周角．

連結(jié)CO并延長交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF，則∠ADC=∠CBF=90°，∠F=∠CAD． 所以△ADC∽△FBC. 所以=. 所以AC·BC= CD·FC. 又因?yàn)镕C=AE，所以AC·BC= CD·AE.

在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，題中把直徑CF轉(zhuǎn)化為AE即能得證. 另外，如果變換直徑的位置或變換直徑為半徑，又能得到更多命題．

作垂線

如圖2，在兩同心圓O中，大圓的弦AD交小圓于B，C兩點(diǎn)，求證：DC=AB.

需證明的兩條線段都在弦AD上，考慮到同心圓這一特殊條件，我們?nèi)菀紫氲酱箯蕉ɡ恚?/p>

作OF⊥AD，垂足為F，由垂徑定理得DF=AF，CF=BF，所以DC=AB.

垂徑定理是圓中很重要的定理之一，是解決有關(guān)計(jì)算、證明和作圖問題的重要依據(jù)，它有廣泛的應(yīng)用，因此，需要同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會(huì)．

作公共弦

如圖3，⊙O與⊙O交于P，E兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)E的直線分別交兩圓于A，B兩點(diǎn)，求證：CA∥DB．

由圖形可以想到只要證明∠A+∠B=180°即可． 要證明不在同一圓中的兩個(gè)角之間的關(guān)系，中間必然需要紐帶來聯(lián)結(jié)．

連結(jié)PE，則∠A=∠DPE，∠DPE+∠B=180°. 所以∠A+∠B=180°． 所以CA∥DB.

利用公共弦可以構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形，從而把不在同一個(gè)圓中的元素聯(lián)系起來．

作半徑

如圖4，點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，延長AP交△ABC的外接圓圓O于點(diǎn)D，在AC延長線上有一點(diǎn)E，滿足AD2＝AB·AE，求證：DE是⊙O的切線．

證明直線是圓的切線，常用的方法有兩種：①若已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)，常常作出經(jīng)過此點(diǎn)的半徑；②若直線不經(jīng)過圓上一點(diǎn)，則過圓心作已知直線的垂線．

連結(jié)DO，BD，因?yàn)辄c(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，所以∠BAD＝∠DAE. 又因?yàn)锳D2＝AB·AE，所以=. 所以△BAD∽△DAE. 所以∠ADB＝∠E. 又因?yàn)椤螦DB＝∠ACB，所以∠ACB＝∠E. 所以BC∥DE. 又因?yàn)榛D=弧DC，所以O(shè)D⊥BC. 所以O(shè)D⊥DE． 因?yàn)辄c(diǎn)D在⊙O上，故DE是⊙O的切線．

作過切點(diǎn)的半徑，或作出構(gòu)造圓心角的半徑可以將圓中的元素有機(jī)地聯(lián)系起來．

作連心線

已知⊙O與⊙O相切于點(diǎn)P，過點(diǎn)P的直線交⊙O于點(diǎn)A，交⊙O于點(diǎn)B，求證：OA∥OB．

這是一個(gè)無圖題，須慎重考慮． 題中只是指出兩圓相切，因此需考慮內(nèi)切和外切兩種情況．

（1）當(dāng)⊙O與⊙O外切于點(diǎn)P時(shí)，如圖5，連結(jié)OO，則OO必過P點(diǎn)． 因?yàn)镺A= OP，所以∠OPＡ＝∠A． 同理可得∠OPＢ＝∠Ｂ. 又∠OPＢ＝∠OPA，所以∠Ｂ＝∠A. 所以O(shè)A∥OB．

（2）當(dāng)⊙O與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)P時(shí)，證明略．

本題利用兩圓相切時(shí)的性質(zhì)：連心線必過切點(diǎn)得證．通過連心線架起了兩圓之間的橋梁． 當(dāng)然，通過連心線也可以形成圓心距、兩圓半徑、公共弦之間的關(guān)系．

作公共割線

如圖6，⊙O與⊙O都經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在BA的延長線上，過點(diǎn)P作⊙O的割線PCD交⊙O于C，D兩點(diǎn)，作⊙O的切線切⊙O于點(diǎn)E，若PC=3，CD=6，求PE．

已知一圓中割線的長度，求另一圓的切線，顯然需要橋梁過渡，因此，很自然地想到兩個(gè)圓的公共割線．

作割線PAB，由切割線定理得PC·PD=PA·PB，PE2=PA·PB，所以PE2= PC·PD=3×（3+6）=27，所以PE=3．

作切線

如圖7，C為線段AB的中點(diǎn)，BCDE為正方形，以點(diǎn)B為圓心，BD長為直徑的半圓交直線AB于H，K，CE與BD交于點(diǎn)O，DK分別交CE，BE于點(diǎn)M和點(diǎn)N，求證：AH·AK=2AC2.

問題的設(shè)計(jì)以半圓為背景，所證的結(jié)論與割線相關(guān)，結(jié)合已知條件、圖形特征，聯(lián)想到“切割線定理”，連結(jié)AD也就水到渠成、順理成章、一目了然．

連結(jié)AD，由AC=CB=CD可得∠ADB=90°，所以AD為半圓B的切線．由切割線定理得AH·AK=AD2，易知△ACD為等腰直角三角形，所以AD=AC. 所以AH·AK=2AC2.

該證明簡潔明了，趣味盎然，如果利用∠ADC=∠BDC= 45°證法亦然．

作公切線

如圖8，⊙O與⊙O外切于點(diǎn)P，AB是⊙O的切線，ABC是⊙O的割線，連結(jié)PA，PB，PC．求證：∠APB+∠APC=180°

所求兩角均與兩個(gè)圓有聯(lián)系，并且所證結(jié)果為180°，所以可以思考利用三角形的內(nèi)角和來證明．∠APC是△APC的一個(gè)內(nèi)角，因此想辦法把∠APB轉(zhuǎn)化為∠A與∠C的和，可考慮作公切線．

作兩圓的內(nèi)公切線PO交AC于點(diǎn)O．因?yàn)锳B是⊙O的切線，所以∠A=∠OPA． 另外，容易證得∠C=∠OPB，所以∠APB+∠APC=∠OPA+∠OPB +∠APC=∠A +∠C +∠APC=180°．

當(dāng)告知兩圓外切時(shí)，作內(nèi)公切線是常用的輔助線.

補(bǔ)圓

如圖9，已知△ABC中，∠B=2∠C，求證：AC2= AB2+ AB·BC.

圖形比較簡單，證明結(jié)果比較復(fù)雜，結(jié)合證明形式，我們不難發(fā)現(xiàn)AB·BC類似于相交弦定理，而證明結(jié)果通過變形可以利用平方差公式，也可以轉(zhuǎn)化成兩條線段之積的形式，因此，我們考慮添加輔助圓，借助這一特殊的橋梁來實(shí)現(xiàn)證明．

以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作⊙A，延長CB交⊙A于點(diǎn)D，延長AB，BA，分別交⊙A于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連結(jié)AD，則AD=AC． 所以∠D=∠C． 因?yàn)椤螪AB+∠D=∠ABC=2∠C，所以∠DAB=∠D． 所以AB=BD． 由相交弦定理得BD·BC= BE·BF=（AE-AB）·（AF+AB）= AC2-AB2，所以AC2= AB2+ AB·BC

補(bǔ)圓的要求比較高，應(yīng)用性也比較強(qiáng)，這就需要同學(xué)們能隨機(jī)應(yīng)變，靈活應(yīng)用．

通過以上幾例，我們發(fā)現(xiàn)，解決圓中問題，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)與結(jié)論之間的橋梁，從而化難為易，殊途同歸，因此，掌握常用的輔助線的方法，對(duì)于提高同學(xué)們分析問題、解決問題的能力是大有裨益的．