具有等價意義的二次函數概念及應用

二次函數是初中數學中難度較大的內容，因為它涉及的概念很多，有些概念與一元二次方程有密切聯系，有些與不等式有關聯. 同學們往往掌握不夠全面和牢固，原因是同學們無法將所學知識聯系起來，各個概念之間是孤立的，就好像猴子摘桃子一樣，缺乏知識積累的能力. 如x=－這個式子包含三種涵義：它是對稱軸的方程，也是拋物線頂點橫坐標，又是函數值y取得最大值或最小值時x的取值 .

1. 等價意義的概念

什么叫等價關系？若條件A成立能得到結論B，反過來，若條件B成立也能得到結論A，則稱A等價于B，用符號表示為AB.

以下的等價關系均是針對二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象——拋物線而言的.

（1）拋物線對稱軸方程x=－拋物線頂點的橫坐標函數值y取得最大值或最小值時的x的值.

（2）b=0拋物線的對稱軸為y軸頂點在y軸上頂點坐標為（0，c）.

（3）b2－4ac=0拋物線頂點在x軸上拋物線與x軸只有一個交點函數值y的最大值或最小值為零.

（4）b2－4ac<0拋物線與x軸無交點ax2+bx+c=0無實根圖象與坐標軸只有一個交點自變量x為任意實數時，函數值y恒大于0（a>0）或恒小于0（a<0）.

（5）關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數根為x，x所對應的二次函數的解析式為y=a（x－x）（x－x）所對應的拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為（x，0），（x，0）.

（6）若拋物線上取自變量x，x時，其函數值相同對稱軸為直線x=當自變量x取x+x時，其函數值為c.

（7）若拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標分別為x，x，則兩交點的距離d=x－xd=d=2x+d=2x+.

2. 等價意義的應用

在距地面2 m高的某處，把一物體以初速度v0為10 m/s豎直向上拋出，在不計空氣阻力的情況下，其上升高度h（m）與拋出時間t（s）滿足h=vt－gt2（其中g取10m/s2），則該拋物線在運動過程中經過多少時間距地面最高？最高點離地面多高？

把v=10，g=10分別代入h=vt－gt2中得h=－5t2+10t，這是一個h關于t的二次函數解析式，根據等價關系（1）知，當t=－=－=1時h有最大值. 把t=1代入，得h=－5×12+10×1=5 m，即當t=1 s時，該物體處在離地面最高處，且最高點離地面5+2=7 m.

該題出現距地面最高，意味著拋物線的頂點，可用公式法求出頂點的橫坐標t，然后再代入h=－5t2+10t中，由等價關系（1）可知，這樣得到的h值是最大的，但很多同學以為h的最大為5 m，就不假思索地得出經過1 s，物體達到最高處5 m的錯誤結論，出現錯誤的原因顯然是沒有認真讀題，忽視了題中站在距地面2 m高的條件.

若拋物線y=x2－kx+k－1的頂點在坐標軸上，求k的值.

頂點在坐標軸上有兩種含義：一種是頂點在x軸上，依據等價關系（3）可得出b2－4ac=0，即（－k）2－4（k－1）=0，化簡并整理后得k2－4k+4=0，解得k=k=2；另一種是頂點在y軸上，根據等價關系（2）知b=0，即－k=0，所以k=0. 綜合上述兩種情況可知，當k=0或k=2時，拋物線y=x2－kx+k－1的頂點在坐標軸上.

此題若不仔細審題，會遺漏一種情況而只得出一個結論，另外，如果同學們不善于總結，其中的等價關系便很難得知，也不會輕易得到正確的結論. 從上述求解過程中可以看出，等價關系（2）和（3）在此題中顯示出了較大的優越性.

不論自變量取什么實數，二次函數y=2x2－6x+m的函數值總是正值，求m的取值范圍.

由二次項系數a=2及題意可知拋物線開口向上，且函數值始終大于0，根據等價關系（4）知拋物線與x軸無交點，所以b2－4ac=（－6）2－4×2m<0，即36－8m<0，解得m>，所以當m>時，二次函數y=2x2－6x+m的函數值總是正值.

此例題可以有以下兩種變式題，①后半題改為問關于x的一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情況是什么；②對于二次函數y=2x2－6x+m，不論x取什么實數時，它始終與坐標軸只有一個交點，求m的取值范圍. 上述兩種變式題的解決方法與例3相同，結果當然也相同，但在第②題的變式中，拋物線始終與坐標軸只有一個交點，粗心的同學會由圖象與x軸只有一個交點得出b2－4ac=0的結論，但仔細想想可知此處與坐標軸（包括x軸、y軸）只有一個交點，說明拋物線與x軸無交點，而只與y軸相交（如圖1），所以應有b2－4ac<0.

已知拋物線的頂點為（2，-1），且在x軸上截得的線段AB的長為2，求此拋物線的解析式.

因為拋物線的頂點坐標為（2，-1），且在x軸上截得的線段長為2，由等價關系（5）和（7）知，與x軸的兩個交點坐標分別為（3，0）和（1，0），如圖2. 此時可知該拋物線的解析式為y=a（x－1）（x－3），再把頂點坐標（2，-1）代入可求出a=1，所以所求的解析式為y=x2－4x+3.

該題若只用等價關系（7）中的在x軸上截得的線段長公式d==2，以及－=2，= －1來列出三元方程組，難度可想而知，而且這樣的方程組也沒有學過，此時便會陷入困境，若同時用等價關系（5）和（7），則會有“柳暗花明又一村”的景象.

二次函數y=ax2+bx+c滿足a+b+c=0和9a－3b+c=0，求該二次函數的對稱軸.

滿足a+b+c=0和9a－3b+c=0隱含著此拋物線經過（1，0）和（-3，0）兩點. 由等量關系（6）知，該函數的對稱軸為x=，即直線x=－1.

該題中告知兩個式子，有些同學可能會解方程組，但它只有兩個方程卻有三個未知數，怎么解呢？這樣便陷入了困境. 其實，除了前面介紹的等價關系外，同學們還應熟知一些常用的等價關系，如：①a+b+c=0拋物線經過點（1，0）；②a－b+c=0拋物線經過點（-1，0）；③4a－2b+c=0拋物線經過點（-2，0）；④n2a+nb+c=0拋物線經過點（n，0）.

已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），求該拋物線上縱坐標為-8的另一點的橫坐標.

從點A和點B的坐標可知，它們的縱坐標相同，即當x=－2和x=6時函數值相同，根據等價關系（6），對稱軸為直線x=，即直線x=2，再根據C的坐標，由拋物線的對稱性可知，縱坐標為-8的另一點的橫坐標為x=1.

題中告知A，B，C三點的坐標，有的同學會馬上代入二次函數一般式中，求出a，b，c的值，然后把y=-8代入，求出相對應的x的值，這樣顯得比較麻煩，而由等價關系（6）和拋物線的對稱性很容易得出正確結論.

已知二次函數y=2x2+9x+34，當自變量x取兩個不同值x，x時，函數值相等，則當自變量x取x+x時的函數值與（ ）

A. x=1時的函數值相等

B. x=0時的函數值相等

C. x=時的函數值相等

D. x=－時的函數值相等

此題若運用等價關系（6）的話，馬上會得到正確答案B. 即使是這樣看上去較難的題，也能迎刃而解，所以善于總結是很必要的.

以上幾個例題，都是針對上述七個等價關系的具體應用. 顯然，掌握這幾個等價關系，是解決有關二次函數圖象與坐標軸位置關系問題時強有力的武器，擁有這些武器，就能輕松應戰各種變幻莫測的題，既能突破二次函數這一章的難點，又能領略簡潔解題的風采，同學們完全可以從題海中解脫出來，切實減輕學習負擔.