例說探索性問題的常用解法

題目將拋物線C：y=－x2+沿x軸翻折，得拋物線C，如圖1所示.

（1）請(qǐng)直接寫出拋物線C的表達(dá)式.

（2）現(xiàn)將拋物線C向左平移m（m>0）個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M， 與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A，B；將拋物線C向右也平移m個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D，E.

①當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值.

②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

這是2011年江西中考試卷的第24題，是一道檢測(cè)同學(xué)們數(shù)學(xué)綜合能力的探索性問題. 探索性問題的條件或結(jié)論不確定，從而解題的思維與方法不易直接判斷和掌握，同學(xué)們得分率比較低. 但每年中考都有這種探索性的考題，因此，同學(xué)們必須突破這個(gè)難點(diǎn). 下面是我對(duì)這類問題解法的一些研究，供大家參考，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

1. 判斷型探索性問題

判斷型探索性問題是指結(jié)論設(shè)有未知的問題，解決這類問題的基本方法是根據(jù)條件進(jìn)行分析、推理、計(jì)算，最終得到結(jié)果.

（2011江蘇南京）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm， 點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)， 沿射線PC方向以2 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心，PQ長為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s.

（1）當(dāng)t=1.2 s時(shí)，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）已知⊙O為△ABC的外接圓，當(dāng)t為何值時(shí)，⊙P與⊙O相切？

（1）直線AB與⊙P相切. 過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D. 在Rt△ABC中，因?yàn)椤螦CB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，所以AB ==10 cm. 因?yàn)辄c(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，所以PB=4 cm. 因?yàn)椤螾DB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，所以△PBD∽△ABC. 所以=，即=. 所以PD=2.4 cm. 而當(dāng)t=1.2 s時(shí)，PQ=2t=2.4 cm. 所以PD=PQ，即圓心P到AB的距離等于⊙P的半徑. 所以直線AB與⊙P相切.

（2）因?yàn)椤螦CB=90°，所以AB為△ABC的外接圓的直徑. 所以O(shè)B=AB=5 cm. 連結(jié)OP，因?yàn)辄c(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)P為△ABC的中位線. 所以O(shè)P=AC=3 cm. 因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙O的內(nèi)部，所以⊙P與⊙O只能內(nèi)切. 根據(jù)兩圓內(nèi)切時(shí)半徑間的關(guān)系可知5-2t=3或2t-5=3，解得t=1或t=4. 所以當(dāng)t的值為1或4時(shí)，⊙P與⊙O相切.

2. 可能型探索性問題

可能型探索性問題是指根據(jù)題目所給的條件，探索是否存在可能的結(jié)果的問題. 解決這種問題的基本方法是假設(shè)可能，然后根據(jù)題目所給的條件，分析、推理、計(jì)算，得到一個(gè)結(jié)論. 如果結(jié)論符合題目要求，說明可能；如果結(jié)論不符合題目要求，或推理過程中出現(xiàn)矛盾，說明不可能. 最后再進(jìn)行總結(jié).

如圖3，四邊形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，則在P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形PQCD是否可能為平行四邊形？ 如果可能，求出P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；如果不可能，說明理由.

可能. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是直角梯形，所以AD∥BC. 所以當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形. 設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)x s時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形，則AP=x cm，CQ=3x cm. 因?yàn)锳D=24 cm，所以PD=（24-x） cm，即24-x=3x，所以x=6. 所以當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)6 s時(shí)四邊形PQCD是平行四邊形.

3. 變化型探索性問題

變化型探索性問題是指題目的部分條件或全部條件變了，探究題目結(jié)論是否也發(fā)生變化. 解決這類問題的基本方法是根據(jù)題目變化了的條件，分析題目各種關(guān)系是否發(fā)生變化，如何變化，依此推理、計(jì)算，得到結(jié)論.

（2011廣東河源）如圖4，已知線段AB的長為2a，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B重合），分別以AP，PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正三角形APC和正三角形PBD.

（1）當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時(shí)，AP=__________（直接寫結(jié)果）.

（2）連結(jié)AD，BC，相交于點(diǎn)Q，設(shè)∠AQC=α，那么α的大小是否會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化？請(qǐng)說明理由.

（3）如圖5，若點(diǎn)P固定，將△PBD繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），此時(shí)α的大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

（1）AP＝a.

（2）α的大小不會(huì)隨點(diǎn)P的轉(zhuǎn)移而變化，理由如下：因?yàn)椤鰽PC是等邊三角形，所以PA=PC，∠APC=60°. 因?yàn)椤鰾DP是等邊三角形，所以 PB=PD，∠BPD=60°. 所以∠APC=∠BPD. 所以∠APD=∠CPB. 所以△APD≌△CPB. 所以∠PAD=∠PCB. 因?yàn)椤螿AP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠AQC=180°－120°=60°.

（3）此時(shí)α的大小不會(huì)發(fā)生改變，始終等于60°.

4. 存在型探索性問題

存在型探索性問題是指根據(jù)題目所給的條件，探索是否存在符合要求的結(jié)論. 這種問題與可能型探索性問題類似. 解決這種問題的基本方法是假設(shè)結(jié)論存在，根據(jù)題目所給的條件，分析、推理、計(jì)算，得到一個(gè)結(jié)論. 如果結(jié)論符合題目要求，說明存在符合要求的結(jié)論；如果結(jié)論不符合題目要求，或推理過程中出現(xiàn)矛盾的情況，說明不存在符合要求的結(jié)論.

本文開頭的題目就是一個(gè)存在型探索性問題，我們可以作以下解答.

（1）y=x2－.

（2）①令－x2+=0，解得x1=-1，x2=1，則拋物線C與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－1， 0），（1， 0）. 所以A（－1－m，0），B（1－m，0）. 同時(shí)可得D（－1+m，0），E（1+m，0）. 當(dāng)AD＝AE時(shí)，如圖6，有（－1+m）－（－1－m）=·［（1+m）－（－1－m）］，解得m=. 當(dāng)AD=AE時(shí)（圖略），有（－1+m）－（－1-m）=［（1+m）－（－1－m）］，解得m=2. 所以當(dāng)m=或m=2時(shí)，B，D是線段AE的三等分點(diǎn).

②存在，理由如下：如圖7，連結(jié)AN，NE，EM，MA，依題意可得M（－m，），N（m，－），即M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以O(shè)M=ON. 因?yàn)锳（-1-m，0），E（1+m，0），所以A，E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱. 所以O(shè)A=OE. 所以四邊形ANEM為平行四邊形. 要使平行四邊形ANEM為矩形，必須滿足OM＝OA，即m2+（）2=［－（－1－m）］2，解得m=1. 所以當(dāng)m=1時(shí)，以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.