四邊形中動點問題的求解

數學中的動點問題，是數學圖形上存在一個或兩個沿某些線運動的點，利用點的運動特征，尋求題目中某些量之間關系的問題. 這類題目，逐漸成為了考試研究的熱點. 下面舉例說明四邊形中動點問題的解法.

如圖1，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點E，F分別是邊AB，BC的中點，求PE＋PF的最小值.

利用軸對稱的性質，可在CD上找出點F關于AC的對稱點F′（即DC的中點），連結F′E交AC于點P，則PE+PF的最小值為線段EF′的長，而E，F′分別為邊AB，DC的中點，則F′E的長等于菱形的邊長5.

作點F關于AC的對稱點F′，連結F′E交AC于點P，此時PE+PF取得最小值. 因為點F是BC上的中點，所以點F′是DC邊上的中點. 因為四邊形ABCD是菱形，所以DC∥AB. 因為點E是AB邊上的中點，所以F′C∥EB，F′C=EB. 所以四邊形EBC F′是平行四邊形. 所以EF′=BC. 因為菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，所以BC==5. 所以EF′=5. 所以PE+PF=PE+PF′=EF′=5. 所以PE+PF的最小值為5.

解此類題時，先抓住問題中的“最值”，即題目中的 “最小值”，確定動點P的位置，然后利用圖形的特征加以解決. 求最小值的常用方法是先作某一點關于某直線的對稱點，再利用軸對稱性質將線段進行轉移，最后利用兩點之間線段最短進行求解.

如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，一動點P從點A開始沿AD邊向點D以1 cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3 cm/s的速度運動. P，Q分別從點A和點C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動. 設運動時間為t s，則

（1）t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？

（2）t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？

解決本題的關鍵是熟悉平行四邊形和等腰梯形的性質特征，再根據它們的性質特征列出方程進行求解.

（1）在直角梯形ABCD中，因為AD∥BC，所以當PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形. 所以24-t=3t，解得t=6. 所以當t=6 s時，四邊形PQCD為平行四邊形.

（2）如圖3，作DH⊥BC于點H，PG⊥BC于點G，若四邊形PQCD為等腰梯形，則QC=PD＋2HC，即QC=PD+2（BC-AD）. 因為BC=26，AD=24，所以3t=（24-t）+2（26-24），解得t=7. 所以當t=7 s時，四邊形PQCD為等腰梯形.

在解答本例題時，根據問題中特殊四邊形的性質及特征，構造動點的位置，是動點問題常用的方法.

如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點P在AD上，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，求PE+PF的值.

在求PE＋PF的值時，動點P的位置不固定，根據矩形的對角線相等且互相平分可發現S與S的和，即S的值是一個固定不變的值，所以，可連結OP，根據S= S+S=S，代入數值，即可求出結果.

連結OP，因為S= S+S，所以S=AO·PE+DO·PF. 因為四邊形ABCD是矩形，所以AC=BD，∠BAD=90°，AO=AC，DO=BD. 因為AB=3，AD=4，所以AC=BD=5. 所以AO=DO=. 所以S=×PE+×PF=（PE＋PF）. 因為S=S=×3×4=3，所以（PE＋PF） =3. 所以PE＋PF=.

動點P的位置無法確定，PE，PF無法放到一條直線上，但始終不變的是圖形的面積. “面積法”是本類題的解題特點.

如圖5，在梯形ABCD中，AD∥BC， AD=2， BC=4， 點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形.

（1）試說明梯形ABCD是等腰梯形.

（2）動點P，Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變，設PC為x，MQ為y，求y關于x的函數解析式.

（1）因為△MBC是等邊三角形，所以MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°. 因為M是AD的中點，所以AM=MD. 因為AD∥BC，所以∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°． 所以△AMB≌△DMC. 所以AB=DC. 所以梯形ABCD是等腰梯形．

（2） 因為△MBC是等邊三角形，所以∠MBC=∠MCB =60°，MB=MC=BC=4. 因為∠MPC=∠MBC＋∠BMP=∠MPQ＋∠QPC，∠MPQ=∠MBC=60°，所以∠BMP=∠QPC. 所以△MPB∽△PQC. 所以=. 因為PC=x，MQ=y，所以QC =4-y，PB=4-x. 所以=. 所以 y=x2-x+4.

如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3 cm，∠C=60°，BD⊥CD．

（1）求BC，AD的長度.

（2）若點P從點B開始沿BC邊向點C以2 cm／s的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1 cm／s的速度運動，當 P，Q分別從B，C同時出發時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍（不包含點P在B，C兩點的情況）.

（3）在（2）的前提下，是否存在某一時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1 ∶ 5？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

（1）在Rt△BCD中，CD=3 cm，∠C=60°，所以∠DBC=30°. 所以BC=2CD=6 cm. 由已知知梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC=∠C=60°. 所以∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°. 因為AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC=30°. 所以∠ABD=∠ADB. 所以AD=AB=3 cm.

（2）當P，Q分別從B，C同時出發運動t s時，BP=2t，CQ=t，所以PC=6-2t. 過點Q作QE⊥BC于點E，則QE=CQsin60°=t. 所以S =S-S=－t（6-2t）=（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.

（3）存在時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1 ∶ 5. 因為S=，S=×3××3，所以S=S所以五邊形ABPQD的面積不可能是梯形ABCD面積的. 所以S ∶ S=1 ∶ 5，即S=S. 所以（2t2-6t+27）=×，解得t=. 所以當t=s時，PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1 ∶ 5．

總之，數學中的動點問題，是把“動”變為“靜”，借助題目的已知條件、所求問題的圖形特征、運動規律等，經過觀察、大膽猜想、推理、歸納等過程，靈活地把未知轉化為已知，從而得出動點問題的答案.