梯形中位線構造的動態數學問題

本文結合直線與圓的位置關系、梯形中位線性質，動線、動圓等構造的幾個問題，對一類與梯形中位線、梯形面積有關的動態數學問題進行分類解析，希望對同學們有所幫助.

1. 動線構造的梯形中位線長問題

如圖1和圖2所示，已知AB 是⊙O的直徑，AD，BE分別是l的垂線，D，E分別是垂足，引OC⊥直線l，垂足是點C，在直線l自下而上平移的過程中，探究OC與AD，BE的數量關系，移動過程中這層關系是否發生變化？揭示變化或者不變的原因，如果變化，揭示變化的規律.

分情況討論：①如果直徑AB與直線l沒有交點，三條線段的關系是OC=，證明過程是運用平行線等分線段定理與梯形的中位線性質進行求證. ②如果直徑AB與直線l相交，此時OC的長度并不等于，此時三者的關系是OC=.

如圖3所示，已知AB是⊙O的直徑，點D，E是直線l上的兩點，且AD∥BE，引OC與AD平行交直線l于點C，在直線l自下而上平移的過程中，探究OC與AD，BE的數量關系，移動過程中這層關系是否發生變化？揭示變化或者不變的原因，如果變化，揭示變化的規律.

問題的證明過程與上面例1的方法大致相同，所用的方法仍是平行線等分線段性質與梯形的中位線性質，結論同上.

我們知道，動點、動線、動圖往往是構造中考數學探究型問題的組成材料之一，把直線型，圓，函數中的一次函數、二次函數等組合起來，加之動圖、分類討論等，確實能夠很好地考查同學們運用數學知識、創造性地解決問題的能力.

2. 半徑不變的動圓構造的梯形中位線與梯形面積問題

如圖4所示，已知AB 是⊙M 的直徑，AB=2，點M的坐標是（-6，8），⊙M沿與x軸平行的方向自左向右平移，平移速度是0.5個單位/秒，坐標系內一條直線的關系式是y=x＋1，過直徑AB 的兩個端點A，B與圓心M分別引x軸的平行線，與直線y=x＋1分別交于點D，E，C，點A到達直線上的點D位置時，圓的平移終止，在這一過程中，探究點M與點C的距離d與運動時間t的關系，設以A，B，E，D為頂點的圖形的面積為S，這個面積與運動時間t的函數關系式如何？

由于圓的半徑是1，圓心坐標是（-6，8），因此點B的坐標是（-6，7），點A的坐標是（-6，9），計算出點E，D，C的坐標分別是（6，7），（8，9）與（7，8），因此平移前線段BE=12，AD=14，MC=13，平移時間為t秒時，BE=12-0.5t，AD=14-0.5t，MC=13-0.5t.

（1）當12－0.5t>0，即t<24時，d=13－0.5t，S=2×（13－0.5t）=26－t（其中0≤t<24）.

（2）當12－0.5t=0，即t=24時，d=1，S=2.

（3）當12－0.5t<0， 14－0.5t≥0， 即24

①若AD＞BE，即14-0.5t＞0.5t-12時，解得t＜26，d=13－0.5t，S=×2=×2=2.

②若AD=BE，即14-0.5t=0.5t-12時，解得t=26，d=0，S=×2=×2=2.

③若AD＜BE，即14-0.5t＜0.5t-12時，解得t＞26. 由于24

3. 半徑、位置同時變化的動圓構造的梯形中位線與梯形面積問題

如圖5所示，已知AB是⊙M 的直徑，AB=2，點M的坐標是（-6，8），⊙M沿與x軸平行的方向自左向右平移，平移速度是0.5個單位/秒，同時圓的半徑以0.5個單位/秒的速度在不斷擴大著，坐標系內一條直線的關系式是y=x＋1，過直徑AB的兩個端點A，B與圓心M分別引x軸的平行線，與直線y=x＋1分別交于點D，E，C，點A到達直線上的點D位置時，圓的平移與半徑的擴大同時終止，在這一過程中，探究點M與點C的距離d與運動時間t的關系，以A，B，E，D為頂點的圖形的面積設為S，這個面積與運動時間t的函數關系如何？

由于圓的半徑是1，圓心M的坐標是（-6，8），因此點B的坐標是（-6，7），點A的坐標是（-6，9）. 計算可得點E，D，C的坐標分別是（6，7），（8，9）與（7，8），因此平移前線段BE=12，AD=14，MC=13，平移時間為t s時，點A的坐標是（0.5t-6，9+0.5t），點M的坐標是（0.5t-6，8），點B的坐標是（0.5t-6，7-0.5t），因此點D的坐標是（8+0.5t，9+0.5t），點C的坐標是（7，8），點E的坐標是（6-0.5t，7-0.5t）.

（1）點B與點E重合前，6-0.5t＞0.5t-6，即當t＜12時，如圖5，d=7-（0.5t-6）=13-0.5t，此時所求圖形的面積S=（13-0.5t）×AB=（13-0.5t）×［9＋0.5t-（7-0.5t）］ =（13-0.5t）×（2＋t），化簡得S=－0.5t2+12t+26.

（2）當點B與點E重合時，即t=12時，d=7，S=98.

（3）點B與點E重合后且點A與點D 重合前.

①AD＞BE時，如圖6，8＋0.5t-（0.5t-6）＞0.5t-6-（6-0.5t），解得t＜26，由于0.5t-6＞0，所以t＞12，即12＜t＜26時，d===13－0.5t，S=×AB=×（t+2）=（t+2）2.

②AD=BE時，8＋0.5t-（0.5t-6）=0.5t-6-（6-0.5t），解得t=26，此時d=0，S=×AB=×（26+2）=392.

③AD＜BE時，8＋0.5t-（0.5t-6）＜0.5t-6-（6-0.5t），解得t＞26，如圖7，但x－x=8＋0.5t-（0.5t-6）=14≥0的解集是所有實數，即是當動圓半徑每秒擴大0.5單位長，平移速度是每秒0.5單位長時，總有點D在點A的右側14個單位長度處，即是點A始終不能到達點D 的位置，因此此種情況不等式的解集是t＞26. d= =，即d=0.5t－13，S=×AB=×（t+2）=×（t+2）2.

綜上可知，點M與點C的距離d=13-0.5t（026），以A，B，E，D為頂點的圖形的面積S=-0.5t2+12t+26（012）.