中考數(shù)學壓軸題的特點及策略

每年中考數(shù)學壓軸題的主要功能是對不同水平層次的同學進行區(qū)分和選拔，考查同學們在初中階段對核心知識和重要數(shù)學方法、數(shù)學思想的理解和掌握水平. 目前的中考壓軸題涵蓋了方程、不等式、二次函數(shù)、相似、特殊四邊形等核心知識，其中以二次函數(shù)為背景，結合相似、特殊四邊形、方程的考題尤為突出，涉及圖形變換. 此類題型具有知識面廣、解題方法多、技能和能力要求高、數(shù)學思想方法凸顯等特點，其在中考中占有舉足輕重的地位.

1. 解讀中考壓軸題考點

縱觀近幾年的中考試題，中考壓軸題通常由3個小問組成，第一個小問容易得分，得分率普遍在0.8以上，第二個小題稍難，但通常還是屬于常規(guī)題型，得分率在0.6與0.7之間，第三個小問較難，能力要求較高，且得分率也大多在0.2與0.4之間，從全國中考數(shù)學的試題命題來看，各地中考試題呈現(xiàn)“起點低，坡度緩，尾巴略翹”這一大特色.

通常第一小題主要是求點的坐標或函數(shù)解析式. 第二、三小題有探究點的存在性問題、圖形面積問題或最值問題等，其中，各個小題難度層層推進. 下面就以2011年浙江省部分中考壓軸題為例，著重闡述第二、三小題的特點及求解策略.

2. 案例呈現(xiàn)，做好應考教學策略

案例1 （2011浙江義烏）已知二次函數(shù)的圖象經過A（2，0），C（0，12） 兩點，且對稱軸為直線x=4. 設拋物線頂點為P，與x軸的另一交點為點B.

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標.

（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O，P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N. 將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN. 在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關于t的函數(shù)關系式.

方法點撥 （1）可設出二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c，根據(jù)對稱軸公式，并把點A，C的坐標代入解析式，得到方程組，可求得 a，b，c的值分別為1，-8，12. 所以函數(shù)解析式為y=x2－8x+12. 從而可確定頂點P的坐標為（4，-4）.

（2）由（1）可確定點B的坐標為（6，0），從而可確定PB的解析式為y=2x-12，發(fā)現(xiàn)PB∥OD，因此OP和BD為腰，計算OP的長度. 設D（x，2x），用含x的代數(shù)式表示BD2的長度，即BD2=（2x）2+（6－x）2，再根據(jù)OP2=BD2建立方程（2x）2+（6－x）2=32，解得x1=，x2=2，注意檢驗根的合理性. 當x=2時，OD=BP=2，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去. 所以當x=時，四邊形OPBD為等腰梯形. 故存在D，符合題意.

（3）當0

解決策略 對于求點的坐標問題，同學們要熟悉平行于x軸和y軸的坐標特點，以及在坐標軸角平分線上的點的特點，并會利用待定系數(shù)法求函數(shù)關系式. 對于點存在性問題，解答時應先回答問題，再說明理由. 說理的方式有兩種：一是從已知條件入手，通過推理、論證得出結論成立；二是從結論入手，通過推理、論證，得到使結論成立的條件. 由于點有靜態(tài)點和動態(tài)點之分，因此，做題時應區(qū)別對待. 對于靜態(tài)點問題，往往涉及點滿足何條件才能構成等腰三角形、等腰梯形、正方形、菱形等，這類問題應注重分類討論，根據(jù)其性質特點，找出點的位置，然后利用方程思想來解決. 對于圖形面積問題，壓軸題中往往是在圖形的運動變化中求值，常用割補法，或者探究兩種圖形重疊部分的面積.

案例2 （2011浙江寧波）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（-2，2），點B的坐標為（6，6），拋物線經過A，O，B三點，連結OA，OB，AB，線段AB交y軸于點E．

（1）求點E的坐標.

（2）求拋物線的函數(shù)解析式.

（3）點F為線段OB上的一個動點（不與點O，B重合），直線EF與拋物線交于M，N兩點（點N在y軸右側），連結ON，BN，當點F在線段OB上運動時，求△BON 面積的最大值，并求出此時點N的坐標.

（4） 連結AN，當△BON面積最大時，在坐標平面內求使得△BOP與△OAN相似（點B，O，P分別與點O，A，N對應）的點P的坐標．

方法點撥 （1）根據(jù)A，B兩點坐標可求出直線AB的解析式為y=x+3，令x=0，可求得E點坐標為（0，3）.

（2）設拋物線解析式為y=ax2+bx，將A，B兩點的坐標代入，列方程組求得a=，b=－，所以拋物線的解析式為y=x2－x．

（3）過點N作x軸的垂線NG，垂足為點G，交OB于點Q，過點B作BH⊥x軸于點H，設Nx，x2－x，則Q（x，x）. 把△BON的面積表示為兩個三角形之和，用含未知數(shù)的形式表示出△BON的面積，即S△BON=S△QON+S△BQN=·QN·OG+·QN·GH=·QN·（OG+GH）=·QN·OH=·x－x2－x×6=－（x－3）2+（0

（4）過點A作AS⊥GQ于點S，易求得tan∠SAN=tan∠NOG=，且∠OAS=∠BOG=45°，所以∠SAN=∠NOG，∠OAN=∠BON. 所以ON的延長線上存在一點P滿足條件. 先求出OB，AO和AN的長，由△BOP∽△OAN得到OP的長為. 作PT⊥x軸于點T，所以△OPT∽△ONG， ==，設P（4t，t），則（4t）2+t2=2，解得t1=，t2=－（舍），所以點P的坐標為15，. 將△OPT沿直線OB翻折，可得出另一個滿足條件的點P′，15. 由以上推理可知，當點P的坐標為15，或，15時，△BOP與△OAN相似．

解決策略 對于單動點的動態(tài)問題，應抓住變化中的“不變量”，以不變應萬變. 先理清題意，根據(jù)題目中兩個變量的變化情況找出相關常量，再按照圖形中的幾何性質及相互關系，找出一個基本關系式，把相關的量用一個自變量的表達式表達出來，最后根據(jù)題目的要求，依據(jù)幾何、代數(shù)知識求解. 對于面積的最值問題，有求三角形或四邊形的面積的最大（小）值. 這類問題通常是借助三角形的面積公式或轉化為三角形來解決，但它們的本質都是通過建立二次函數(shù)模型，對二次函數(shù)配方求得相應的最值，因此，在解決這類問題時，首先應求出所求問題的二次函數(shù)解析式，然后再配方求頂點坐標，這樣就可以求出最值.

3. 總結

中考壓軸題是初中數(shù)學中知識覆蓋面最廣，綜合性最強的題型. 壓軸題結合知識點多，條件隱晦，這就要求同學們有較強的理解能力、分析能力和解決能力，對數(shù)學知識和數(shù)學方法有較強的駕馭能力，并且有較強的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.