綜合題型專題講解

在歷年的中考試卷中，都少不了綜合題，這些試題往往涉及代數、幾何等多方面的知識. 綜合題涉及的知識面廣、知識跨度大、綜合性強，應用的數學方法多，縱橫聯系較復雜，結構新穎靈活，注重基礎能力、探索創新和數學思想方法，它要求同學們必須具有良好的心理素質和知識功底，能夠從已知所提供的信息中，提煉出數學問題，從而靈活地運用基礎知識和基本技能創造性地解決問題.

按通常的數學綜合題所涉及的知識體系來講，可將綜合題分為單科綜合（代數綜合題和幾何綜合題）與雙科綜合題. 雙科綜合題又分為以代數為主的代數幾何綜合題和以幾何為主的幾何代數綜合題. 代數綜合題是以方程、函數為主線，結合三角形、四邊形、相似形、圓和解直角三角形等知識的綜合；幾何代數題則是以全等、相似、三角函數等知識為主線，結合方程、函數的綜合.

1. 代數綜合性試題

（2010四川巴中）“保護環境，人人有責”，為了更好地治理巴河，巴中市污水處理廠決定購買A，B兩型污水處理設備共10臺，其信息如下表：

（1）設購買A型設備x臺，所需資金共為w萬元，每月處理污水總量為y噸，試寫出w與x，y與x的函數關系式．

（2）經預算，市污水處理廠購買設備的資金不超過106萬元，月處理污水量不低于2040噸，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案最省錢，需要多少資金.

知道兩種型號的設備共10臺，若設購買A型設備x臺，則購買B型設備為（10-x）臺，從而A型設備所需資金共為12x萬元，B型設備所需資金共為10（10-x）萬元，A型設備每月處理污水總量為240x噸，B型設備每月處理污水總量為200（10-x）噸；由設備的資金不超過106萬元，月處理污水量不低于2040噸可得兩個不等式.

（1）w=12x+10（10-x）=100+2x，y=240x+200（10-x）=2000+40x.

（2）由條件可列出不等式組100+2x≤106，2000+40x≥2040， 解得1≤x≤3，所以有三種方案：方案一，購買1臺A型設備，9臺B型設備；方案二，購買2臺A型設備，8臺B型設備；方案三，購買3臺A型設備，7臺B型設備. 方案一需102萬元資金，方案二需104萬元資金，方案三需106萬元資金，所以方案一最省錢，需要102萬元資金.

本題考查了用一次函數和不等式組解決實際問題，解決這類問題的關鍵是根據題意列出函數和不等式組，做題時應注意“不超過”“不低于”等字眼.

（2010四川樂山）已知反比例函數y=的圖象與一次函數y=3x+m的圖象相交于點（1，5）．

（1）求這兩個函數的解析式.

（2）求這兩個函數圖象的另一個交點的坐標．

（1）因為點A（1，5）在反比例函數y=的圖象上，于是有5=，解得k=5， 所以反比例函數的解析式為y=. 又因為點A（1，5）在一次函數y=3x+m的圖象上， 所以有5=3+m. 所以m=2．所以一次函數的解析式為y=3x+2.

（2） 由題意可得y=，y=3x+2， 解得x=1，y=5； x=－，y=－3. 所以這兩個函數圖象的另一個交點的坐標為－，－3.

求函數的交點坐標可以轉化成求兩個函數解析式組成的方程組的解.

2. 幾何綜合性試題

（2010江蘇南京）如圖1，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發，沿AB運動到點B停止．連結EM并延長交射線CD于點F，過點M作EF的垂線交射線BC于點G，連結EG，FG．

（1）設AE=x時，△EGF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（2）點P是MG的中點，請直接寫出點P運動路線的長．

（1）欲求y關于x的函數關系式，即△EGF的面積，觀察圖形發現S= EF·MG，由條件AM=DM及正方形的性質可得△AME≌△DMF，所以EF=2EM. 因此求出面積的關鍵是求出MG． 結合圖形發現過點M作MN⊥BC，垂足為N可得Rt△AME∽Rt△NMG，進而運用相似三角形的性質可得到MG的長，問題獲解；（2）如圖2，P1P2（P1是P的起始位置，P2是P的終止位置）是點P運動的路線，由Rt△ABM∽Rt△P1P2M，AB=2AM，得P1P2=2MP1=2．

（1）當點E與點A重合時，x=0，y=×2×2=2；當點E與點A不重合時，0＜x≤2． 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，所以∠MDF=90°. 所以∠A=∠MDF． 因為AM=DM，∠AME=∠DMF，所以△AME≌△DMF. 所以ME=MF． 在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=，所以EF=2ME=2． 過點M作MN⊥BC，垂足為N，則∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM． 所以∠AME+∠EMN=90°． 因為∠EMG=90°，所以∠GMN+∠EMN=90°. 所以∠AME=∠GMN. 所以Rt△AME∽Rt△NMG. 所以=，即=. 所以MG=2ME=2. 所以y=EF·MG=×2×2=2x2+2. 所以y =2x2+2（0≤x≤2）．

（2）點P運動的路線長為2．

本題是一道以動點為背景求函數關系式的面積問題，添加恰當的輔導線構造相似三角形求MG的長是問題（1）的求解關鍵． 由于此類問題綜合多個知識點進行考查，再加之同學們對運動性問題的分析往往難以達到“動中求靜”，因此，近年來各地多以運動問題作為中考數學試卷的壓軸題．

3. 雙科綜合性試題

（2010江蘇南通）如圖3，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B，C重合），連結DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設CE=x，BF=y．

（1）求y關于x的函數關系式.

（2）若m=8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

（3）若y=，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？

（1）設法證明y與x這兩條線段所在的兩個三角形相似，由比例式建立y關于x的函數關系式. （2）將m的值代入（1）中的函數關系式，配方化成項點式后求最值. （3）逆向思考，當△DEF是等腰三角形，因為DE⊥EF，所以只能是EF=ED，再由（1）可得Rt△BFE≌Rt△CED，從而求出m的值.

（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，所以在Rt△BFE中，∠BEF+∠BFE=90°. 又因為EF⊥DE，所以∠BEF +∠CED=90°. 所以∠CED=∠BFE. 所以Rt△BFE∽Rt△CED. 所以=，即=，所以y=.

（2）當m=8時，y==－（x－4）2+2，所以當x=4時，y的值最大，最大值是2.

（3）由y=及y=得x的方程x2－8x+12=0，解得x1=2，x2=6. 因為△DEF中∠FED是直角，所以要使△DEF是等腰三角形，則只能是EF=ED，此時，Rt△BFE≌Rt△CED，所以當EC=2時，m=CD=BE=6；當EC=6時，m=CD=BE=2. 故當m的值為6或2時，△DEF是等腰三角形.

在幾何圖形中建立函數關系式，體現了“數形結合”的數學思想，要注意運用“相似法”“面積法”與勾股定理建立有關等式，從而轉化為函數關系式，這也是中考試卷中的常見考法.