以平面坐標系為背景的動圓問題

（2010山東濟南）如圖1，拋物線y=－x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，直線BD的函數表達式為y= －x+3，拋物線的對稱軸l與直線BD交于點C，與x軸交于點E．

（1）求A，B，C三點的坐標．

（2）點P為線段AB上的一個動點（不與點A和點B重合），以點A為圓心、AP長為半徑的圓弧與線段AC交于點M，以點B為圓心、BP長為半徑的圓弧與線段BC交于點N，分別連結AN，BM，MN．

①求證：AN=BM．

②在點P運動的過程中，四邊形AMNB的面積有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值.

（1）令－x2+2x+3=0，解得x=－1，x=3，所以A（－1，0），B（3，0）. 因為y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，所以拋物線的對稱軸為直線x=1. 將x=1代入y=－x+3得y=2，所以C（1，2）.

（2）①在Rt△ACE中，tan∠CAE==，所以∠CAE=60°. 由拋物線的對稱性可知l是線段AB的垂直平分線，所以AC=BC. 所以△ABC為等邊三角形. 所以AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60°. 又因為AM=AP，BN=BP，所以BN=CM. 所以△ABN≌△BCM. 所以AN=BM.

②四邊形AMNB的面積有最小值，設AP=m，四邊形AMNB的面積為S，由①知AB=BC=4，BN=CM=BP，S=×42=4，所以CM=BN=BP=4-m，CN=m. 點過M作MF⊥BC，垂足為點F，則MF=MC·sin60°=·（4－m），所以S=CN·MF=m·（4－m）= －m2+m，所以S=S－S=4-－m2+m=（m－2）2+3 . 所以當m=2時，四邊形AMNB的面積取得最小值3.

本題設置了圓心不動而半徑變化的兩圓相切的問題情境，即由于點P的運動引起兩圓半徑的變化，以致引起四邊形AMNB的面積的變化．本題的難點是如何用含x的代數式表示出四邊形AMNB的面積關系式．可見，如何在動中找到特殊點，如何將復雜問題轉化為簡單問題是解決此類問題的關鍵．

（2010云南昭通）如圖2，直線l的解析式為y=－x+6，它與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，平行于直線l的直線n從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒，運動過程中始終保持n∥l，直線n與x軸、y軸分別相交于C，D兩點，線段CD的中點為P，以點P為圓心、CD為直徑在CD上方作半圓，半圓面積為S，當直線n與直線l重合時，運動結束．

（1）求A，B兩點的坐標.

（2）求S與t的函數關系式及自變量t的取值范圍.

（3）直線n在運動過程中， ①當t為何值時，半圓與直線l相切？

②是否存在這樣的t值，使得半圓面積S=S？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

（1）根據一次函數與坐標軸的交點坐標特征易求A（6，0），B（0，6）．

（2）由于在運動過程中n∥l， 所以CD===t． S=πPD2=π·t2=πt2（0

（3）①過點D作DE⊥AB于點E，過點P作PF⊥AB于點F（圖略）． 當PF=PD時，半圓與l相切，即（6－t）=t，解得t=3． 所以當t=3時，半圓與直線l相切．

②由于S=S－S=×6×6－×t·t=18－t2， S=πt2，若S=S，則πt2=·18－t2， 可求出t==<6． 所以存在t=使得S=S．

本題設置了在平面坐標系下“心”動半徑也變的問題情境，解決的關鍵是找出動態過程中的不變量，同時要注意轉化思想的運用，即如何把動線問題轉化為動點問題來解決．

（2010云南昆明）在平面直角坐標系中，拋物線經過O（0，0），A（4，0），B3，－三點.

（1）求此拋物線的解析式.

（2）以OA的中點M為圓心，OM長為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點P，過點P作⊙M的切線l ，且l與x軸的夾角為30°？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（1）y=x2－x.

（2）存在，理由如下：拋物線y=x2－x的頂點坐標是2，－，作拋物線和⊙M（如圖3），設滿足條件的切線l與x軸交于點B，與⊙M相切于點C，連結MC，過點C作CD⊥x 軸于點D，因為MC=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC，所以∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4，所以B（-2，0）. 在Rt△CDM中，∠DCM=90°-∠CMD=30°，所以DM=1，CD==. 所以C（1，）. 設切線l的解析式為y=kx+b（k≠0），因為點B，C在l上，所以有k+b=，－2k+b=0，解得k=，b=. 所以切線BC的解析式為y=x+. 因為點P為拋物線與切線的交點，由y=x2－x，y=x+解得x=－，y=； x=6，y=. 所以點P的坐標為P－，，P6，. 因為拋物線y=x2－x的對稱軸是直線x=2，此拋物線、⊙M的對稱軸都為直線x=2，于是作切線l關于直線x=2的對稱直線l′后可得到B，C關于直線x=2的對稱點B和C. l′滿足題中要求，由對稱性得到P，P關于直線x=2的對稱點P， ，P－2，即為所求的點.

綜上可知，滿足條件的點P共有4個，分別為P－，，P6，，P， ，P－2，.

解決問題的策略是：明確直線與圓相切的兩種不同位置，利用相切的特征，找出線和點在運動時特殊位置，在運動中分析，在變化中求解，進而將線的運動轉化為點的運動．