從一道方程組的解法談起

在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)，小明遇到這樣一個(gè)問題：

已知方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 的解是x=3，y=4， ，求方程組3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的解．

小明的解法如下：依據(jù)方程組解的定義，將x=3y=4 代入方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 得3a1+4b1=c1，3a2+4b2=c2. 將方程組3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的兩邊同時(shí)除以5，得a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2.將c1=3a1+4b1，c2=3a2+4b2代入方程組3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2， 并整理得3a1x－1+2b1y－2=0，3a2x－1+2b2y－2=0.觀察該方程組中兩個(gè)方程的系數(shù)特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x－1=0，y－2=0時(shí)，不論a1，b1，a2，b2取何值，方程組中的兩個(gè)方程均成立． 因此x－1=0，y－2=0， 解得x=5，y=10.

表面上看，小明的解法似乎天衣無縫，而實(shí)際上，小明在由3a1x－1+2b1y－2=0①，3a2x－1+2b2y－2=0② 推出x－1=0，y－2=0 時(shí)，忽視了二元一次方程組有唯一解的條件．

事實(shí)上，由①×a2得3a1a2x－1+2a2b1y－2=0③，由②×a1得3a1a2·x－1+2a1b2y－2=0④． ③-④得2a2b1y－2－2a1b2y－2=0，即2y－2（a2b1－a1b2）=0⑤． 可以看出，只有當(dāng)a2b1-a1b2≠0時(shí)，才有y－2=0，否則y－2可以取任何值． 那么是否一定有a2b1-a1b2≠0呢？回答是肯定的．

由方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 的解是x=3，y=4 可知該方程組有唯一一組解． 根據(jù)方程組有唯一一組解的條件可得a2b1-a1b2≠0． 同理，只有當(dāng)a2b1-a1b2≠0時(shí)才有x－1=0． 所以由3a1x－1+2b1y－2=0，3a2x－1+2b2y－2=0 推出x－1=0，y－2=0 時(shí)，一定要交待a2b1-a1b2≠0這個(gè)隱含條件，否則解題就不嚴(yán)密． 不僅如此，由于小明沒有很好地利用已知條件，因而解法也比較麻煩．

事實(shí)上，對(duì)比已知方程組和所求方程組的系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以5后可得0.6a1x+0.4b1y=c1，0.6a2x+0.4b2y=c2， 此方程組中的0.6x，0.4y分別相當(dāng)于方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 中的x，y，因此有0.6x=3，0.4y=4， 即方程組3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的解是x=5，y=10.

實(shí)際上，在解方程組0.6a1x+0.4b1y=c1，0.6a2x+0.4b2y=c2 時(shí)，我們也可設(shè)0.6x=u，0.4y=v，這樣原方程組可變形為a1u+b1v=c1，a2u+b2v=c2， 對(duì)比方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 與方程組a1u+b1v=c1，a2u+b2v=c2 的結(jié)構(gòu)，我們發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)方程組只是未知數(shù)的表達(dá)形式不同而已，未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是相同的，這樣的兩個(gè)方程組的解一定相同，我們把它作為二元一次方程組的一個(gè)重要性質(zhì)，即未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)二元一次方程組的解相同．

在解答類似于引例的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們要注意對(duì)比兩個(gè)方程組的結(jié)構(gòu)，運(yùn)用二元一次方程組的重要性質(zhì)進(jìn)行解答．

已知方程組2a－3b=13，3a+5b=30.9 的解是a=8.3，b=1.2， 則方程組2（x+2）－3（y－1）=13，3（x+2）+5（y－1）=30.9 的解是（ ）

A． x=8.3y=1.2 B． x=10.3y=2.2

C． x=6.3y=2.2 D． x=10.3y=0.2

對(duì)比兩個(gè)方程組的結(jié)構(gòu)，不妨設(shè)x+2=u，y-1=v，則方程組2（x+2）－3（y－1）=13，3（x+2）+5（y－1）=30.9 可變形為2u－3v=13，3u+5v=30.9， 利用二元一次方程組的重要性質(zhì)可得u=8.3，v=1.2， 即x+2=8.3，y－1=1.2， 解得x=6.3，y=2.2. 所以方程組2（x+2）－3（y-1）=13，3（x+2）+5（y-1）=30.9 的解是x=6.3，y=2.2. 答案為C．

如果方程組a1x+b1y=2，a2x+b2y=3 的解是x=10，y=15， 求方程組5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的解．

對(duì)比兩個(gè)方程組的結(jié)構(gòu)，將方程組5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的兩邊同時(shí)除以4得a1x+b1y=2，a2x+b2y=3. 設(shè)x=u，y=v，則方程組a1x+b1y=2，a2x+b2y=3 可變形為a1u+b1v=2，a2u+b2v=3. 利用二元一次方程組的重要性質(zhì)得u=10，v=15， 即x=10，y=15， 解得x=8，y=10. 所以方程組5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的解是x=8，y=10.