利用方差公式證明不等式

方差公式為s2=·x－2+x－2+…+x－2，其中=x+x+…+x，由于s2 ≥ 0，利用這一結論可以使一些不等式獲得簡單的證明.

已知x+y+z=a，求證：x2+y2+z2 ≥a2.

設x2+y2+z2=w，則由方差公式可得x，y，z的方差為s2 =·x－2+y－2+z－2=·（x2+y2+z2）－（x+y+z）+=·w－. 因為s2≥0，所以w－≥0. 所以w≥a2，即x2+y2+z2≥a2.

已知a，b，c，d，e為實數，且a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求證：0≤e≤.

令==，則a，b，c，d的方差為s2=

a2+b2+c2+d2+－（a+b+c+d）=16－e2+－

=16－e2－.

由s2≥0得16－e2－≥0，即16－e2－≥0，由此可求得0≤e≤.

證明：若a1，a2，…，an為任意實數，則≤.

令=，則s2=a－2+a－2+…+a－2≥0，即a21+a22+…+a2n≥2a+a+…+a－n2，所以a21+a22+…+a2n≥. 所以≤.

設c為直角三角形的斜邊，a，b為兩直角邊. 求證：a+b≤c.

因為a2+b2=c2，所以a，b的方差s2 =a－+b－=a2+b2－（a+b）2=·c2－（a+b）2. 因為s2≥0，所以c2-·（a+b）2≥0，而a，b，c均為正數，所以2c2≥（a+b）2，所以a+b≤c.