高數習題課變式教學探析

【摘 要】在高數習題課教學中，教師應善于引導學生學會變題，善于變通推廣，激發學生的學習潛能，培養學生的創造性思維能力和創新能力。同時，還應堅持適用性、針對性、參與性等原則。

【關鍵詞】高數習題課 變式教學 創新能力

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）02C-0122-02

高數習題課的目的是讓學生獨立地、創造性地掌握數學內容（包括數學思想方法，技能、技巧等），發展數學思維能力，提高數學素養。但在現實的數學教學中，部分教師大都窮于應付煩瑣的教學內容和過量的題目，解題教學就題論題，孤立求解。學生在題海中進行反復的對號練習，當遇到不熟悉的問題時，常會感到束手無策。這與教學改革、培養學生的創造能力、提高學生的創新能力目的是背道而馳的。變式教學能讓學生對概念、定理、公式有多角度的理解；同時，對問題的多層次的變式構造，可使學生對問題解決過程及問題本身的結構有一個清晰的認識，能有效地幫助學生積累解決問題的經驗和提高解決問題的能力。因此，變式教學是提高課堂效率的有效途徑，是一種行之有效的教學方式。筆者在教學實踐中，除傳統的變式教學外，還把一些“變”的主動權交給學生，讓學生自己進行探究，找出知識的進一步應用。這種變式教學方式，不僅提高了學生參與課堂活動的積極性，而且在思維的碰撞中，學生找到了規律，提高了能力。本文通過教學中的具體課例進一步探析這種變式教學方式。

一、變題中常用的手法

（一）以點帶面，成片開發。在高等數學習題課中，如果只舉一些例子，做幾道習題，學生好像會了，但把題目稍微改變一下，學生又不會做了，且會消耗寶貴的時間。教師如果對學生加以引導，讓問題以點帶面，就能達到事半功倍的效果。

例如，很多學生覺得用第一類換元積分法求積分題型多、變化大、技巧性強，很難掌握。下面是筆者在一次第一類換元積分法習題課教學中的部分教學過程。該問題是求不定積分：dx；dx；dx

學生認為很簡單，說把積分表達式中的dx變成d(lnx)，積分變為lnxd(lnx)；d(lnx)；d(lnx)就能積出了。

教師：以上三個例子有什么共同點？

學生：每個積分表達式中都含有dx和關于lnx的一個

函數。

教師：對，以上關于lnx的一個函數都是lnx的冪函數(lnx)α，即積分形式為(lnx)α#8226;dx，lnx的函數能不能是冪函數以外的函數呢？比如說是指數函數？三角函數？請舉出例子。

學生經過思考說：應該可以。學生在教師的啟發下說出如elnxdx；dx等式子。

教師：能不能寫成一個通用的式子呢？

學生：可以寫成f(lnx)#8226;dx

教師：同學們不妨改變被積函數f(lnx)，編出一些題來給大家相互練習。

學生習慣了做題，從來沒有編過題，有點不相信，當得到教師肯定后很興奮。學生爭著上黑板寫出自己編的題：

dx；(lnx)#8226;dx；dx；3lnx#8226;dx；

cos(lnx)#8226;dx；ln(lnx)#8226;dx等（因學生編的題量較多，這里只列出較典型的題——筆者注）。

教師：非常好。大家都懂得解嗎？

學生回答得異常大聲，說：會，但最后一題難一些，要用分部積分法。

教師：能不能把被積函數f(lnx)變復雜些？比如給Inx乘上或加上一個不為零的常數？

學生認為可以，一會兒又列出了題目：

dx；dx；dx；dx；

e2lnx-3#8226;dx；sin(5lnx+2)#8226;dx，等等。

教師：怎樣求解？

學生：把dx湊成(1+lnx)d(1+lnx)；dx湊成(1+2lnx)2d(1+2lnx)；dx湊成

d(1+4lnx)；其他幾題也類似地用湊微分法求出解。

教師：積分式f(lnx)#8226;dx中，恰好是f(lnx)中lnx的導數，能不能把lnx變成其他函數從而把f(lnx)#8226;dx推廣為一般情形？

學生：設lnx=?漬(x)，就可得到一般情形f[?漬(x)]#8226;?漬'（x）dx。

教師：不錯。同學們能否編一些形如f[?漬(x)]#8226;?漬'（x）dx，又不同于f(lnx)#8226;dx的積分題？并要求說出解法。

學生爭先恐后地在黑板寫上題目：

3(2+3x)8dx；exsin(ex-2)dx；dx；sindx；

dx，等等，并一一說出了解法。當學生得知，他們編的題中有些是書本上的習題、有些是歷屆的考試題時，非常高興。由學生自己出題，自己解答，學生興趣盎然，課堂氣氛活躍。學生轉換了角色，其潛能得到激發，并在探索中掌握知識的內在聯系，從而培養了創造性思維能力和創新能力。適當的采用變式教學，可以在做題過程中培養學生歸納和總結問題的能力，讓學生在不同的變式中尋找相同的規律，做到“透過現象看本質”。

（二）改變條件或結論，揭示實質。在教學中善于變題，由此及彼，能活躍學生的思維、營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，開闊學生的視野，激發其潛能，并能讓學生領略數學的美和魅力，從而讓學生持久地保持興趣。這有助于培養學生的探索精神和創新意識。在變題中改變條件或結論是常用的手法。例如，在級數習題課中的舉例：求級數(-1)n的收斂半徑。在學生求出收斂半徑后，提問學生：“這道題能變嗎？”第一變：把收斂半徑改為收斂區間呢？第二變：把收斂半徑改為收斂域呢？第三變：把xn改為x2n，級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域又如何求？第四變：把xn改為(x-3)n，級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域又如何求？第五變：把xn改為(x-a)n，級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域又如何求？第五變是條件一般化，提高了學生的綜合分析能力，培養了學生思維的深刻性。通過改變題目的條件，挖掘所學知識的內在聯系，從而培養學生思維的概括性和嚴謹性。

（三）改變提問角度，觸類旁通。在習題課中，對題目的提問角度加以改變，能取到觸類旁通的效果。例如，證明當x→1時，1-x與1-是同階的無窮小。改編為：設α=1-x；當x→1時，試舉出與α是（1）同階；（2）比α高階；（3）比α較低階無窮小的β。這個變法雖然比較簡單，但是可以讓學生感受到，有些問題稍加轉化，就是以前學過的基礎知識點。找到題目之間的聯系，能將題目進行歸類，從一道題的解法找到一類問題的解法，這就是所謂的通解通法。找到通法，學生就不必反復地做枯燥的練習，還能更有效地掌握知識點。一系列的變題有助于學生舉一反三，觸類旁通，激活大腦中原有的認知結構，喚起求知欲，形成教師樂教、學生樂學的局面。

（四）聯系實際，在實際問題中找模型。課本上的題大多是和實際沒什么關聯的，在教學中如能和實際問題緊密聯系，將會極大地激發學生的學習興趣。例如，在定積分的分部積分法舉例：計算xe-xdx，改編為：在電力需求的電涌時期，消耗電能的速度r可以近似地表示為r=te-t（單位：焦耳/小時），求在前兩個小時內消耗的總電能E（單位：焦耳）。經過引導學生利用電學知識求出前兩個小時內消耗的總電能為E=te-tdt。這就要求教師有豐富的專業知識和數學應用意識。教師在教學過程中，要創設情景，引起或指引學生進行聯想，讓學生知道數學與專業和生活是緊密聯系、不可分割的，很多數學問題在專業和生活中都能找到模型。通過聯系實際的變式教學來提高學生應用數學的意識和學習數學的興趣。

二、變題的原則

（一）適用性。在習題課的變題中，為體現高職院?；A課是以“實用為主，夠用為度”的要求，應盡量不出難、怪、偏題。變式的設計應考慮學生的實際水平， 問題應設置于學生的最近發展區，變式時應把握恰當的度，既不能“變”得過于簡單。過于簡單的變式題對學生來說是重復勞動，學生思維的質量得不到很好的提高；也不能“變”得過于難，過于難的變式題會加重學生的學習和心理負擔，使學生產生逆反心理，挫傷學習積極性，同樣也起不到很好的教學效果。

（二）針對性。應以本章節內容為主，選用最一般、最典型、最有代表性、最能說明問題、而且能突出《大綱》要求、教材重點的題目，然后由這一道題出發，由淺入深，由此及彼。此外，還應適當滲透一些數學思想和數學方法。在復習課的習題變式中還應進行縱向和橫向的聯系。

（三）參與性。在教學過程中由學生主動參與變題，會使其體會到成功的快樂，教學效果會更加好，因此，應保證學生一定的參與程度。但也應看到，學生參與變題不利于教師把握課堂的進程；而如果由教師給出變式，雖有利于教師把握課堂的進程，但在調動學生積極性等方面或多或少都有些欠缺。這就需要教師在教學過程中根據具體情況靈活把握學生參與的度。

在高數習題課的變式教學實踐中，教師不僅要善于引導，給學生自由思考、自由表達、自我發現、自我發展的空間，而且還要善于將掌握的內容與發展思維能力統一起來，將知識應用與知識發生過程統一起來，在教學中引導學生多角度、多層次地思考問題，使學生在探索中掌握知識的內在聯系，從而培養學生的創造性思維能力和創新能力。

【參考文獻】

［1］章顯聯.一堂習題課的啟示［J］.數學通報，2003（1）

［2］劉健.談變式教學中習題引申應注意的幾個問題［J］.數學通報，2003（1）

［3］曹賢鳴.變式教學應服務于課堂教學目標［J］.數學通報，2008（7）

（責編 蘇 洋）