淺論三角函數問題教學中學生解題技能的培養

【摘 要】三角函數章節是初中數學函數章節知識的有效延伸，是高中向量以及三角恒等變式等內容的有效鋪墊，起著承上啟下的銜接作用。三角函數問題有效解答需要學生具有良好的解題技能。

【關鍵詞】三角函數；問題教學；解題技能

三角函數作為解決生活實際問題的有效工具，學生在實際解答中需要具有行之有效、針對性的解題技能。而解題技能作為學生學習能力水平的重要表現，在三角函數章節問題教學活動中，成為新課標下高中數學教師能力教學的重要內容和目標。近年來，本人結合教學綱要以及重難點內容，在實際教學中進行了粗淺的嘗試和探究，現簡要論述三角函數問題教學中學生數形結合、劃歸思想以及分類討論等解題技能培養的體悟及策略。

一、利用三角函數的生動性，培養學生數形結合的解題技能

華羅庚先生曾用“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非”對數形結合解題技能進行了精辟論述。眾所周知，三角函數作為高中數學學科知識體系的重要分支，無論在表現形式上，還是在現實生活中，都表現出顯著的多樣性、生動性和趣味性。同時，通過對三角函數整體章節內容的分析，可以發現，三角函數實際是平面圖形內容與函數知識的有效結合體。因此，教師在解答三角函數章節問題時，首先要樹立數形結合的解題思想，將三角函數問題看作是平面圖形和數學內涵有效結合的“存在體”，利用“數”的精準性和“形”的直觀性，相互兼容，有效滲透，進行三角函數問題的有效解答。

二、利用三角函數的關聯性，培養學生轉化與化歸的解題技能

化歸與轉化解題技能是解決數學問題的根本思想。化歸與轉化就是通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選取恰當的方法進行變化，將所要解答問題轉化到能夠解決或容易解決的問題。三角函數章節與其他知識點內容之間有著深刻的聯系，其中在解答三角函數實際運用問題時，就要運用到轉化與化歸解題技能。因此，在實際解答三角函數問題時，要善于抓住三角函數與其他知識的緊密聯系特性，按照化生為熟、化繁為簡、和諧化、直觀化等相關原則，進行問題的有效解答。

問題：已知函數 。（1）若f(x)既不是奇函數又不是偶函數，求實數a的取值范圍，并證明之。（2）是否存在正實數a，對于f(x)定義域內的任意實數x1，都能構造出一個無窮數列{xn}，使其滿足條件 。

解：（1）

證明：若a＞0，函數定義域為 ，

不對稱，所以為非奇非偶函數。同理，a＜0時，也是非奇非偶函數。當a=0時， ，是奇函數。

所以， ；

（2）由題意可知，函數f(x)的值域B應為定義域A的子集，即 ，

求出函數定義域為 ，利用單調性（或導數）可求出函數值域為 ，不滿足 ，所以這樣的正實數a不存在。

分析：上述問題案例的解答過程中，教師就引導學生利用轉化與化歸解題策略，采用化繁為簡的原則，進行等價互換，從而實現該類型問題的有效解答。

三、利用三角函數的豐富性，培養學生分類討論的解題技能

分類討論是數學問題解答中經常運用到的數學解題方法之一，也是學生思維全面性、合理性的重要表現條件之一。它是指對問題中的各種情況進行分類或對所涉及的范圍進行分割，然后分別加以研究和求解。學生分類討論解題方法的運用，能夠有效避免審題不清、考慮不完善等情況的發生。

問題：已知函數 是R上的偶函數，其圖像關于點 對稱，且在區間

上是單調函數，求 的值。

解：由f(x)是偶函數，得f(-x)=f(x)

總之，解題技能是學生解題活動有效開展的重要保障，更是學生學習效能提升的先決條件。本人在此僅作簡要闡述，期望同人能夠共同參與到學生解題技能的培養活動中，為有效教學活動扎實開展貢獻力量。

（作者單位：江蘇省南通市通州區興仁中學）