兩例不等式恒成立問題中參數范圍求解策略

【摘要】不等式恒成立問題中參數范圍求解幾種常用方法：常規分析法、分離參數法、數形結合法、向量應用法、主元變換法、最值分析法、“△”判別法。

【關鍵詞】參數范圍求解策略

近幾年，有關不等式恒成立中求參數范圍的問題，頻頻出現在普通高考、對口高考和各地模擬試卷中，事實上，這類問題涉及知識面廣，綜合性強，解法靈活多變，是同學們學習中難點；因此，下面通過兩典型例題的剖析，給大家介紹幾種常用求解策略.如有不對，敬請斧正。

例1：設不等式，對于滿足值都成立，求x的取值范圍.

1.常規分析法

略解：可分別求

，時不等式的解集，再求同時屬于上面三個解集的所有x，得到x的取值范圍是.

2.分離參數法

解：原不等式可化為.

⑴當時，不等式可化為，顯然要使其對一切恒成立，則，從而解得，；

⑵當時，不等式可化為，顯然要使其對一切恒成立，則，從而解得，；

⑶當x=1時，不等式對一切

恒成立.

綜上所述：x的取值范圍為.

3.向量應用法

解：首先原不等式可化為：。令，則恒成立恒成立，即對任意，向量的夾角始終為鈍角或方向相反.設，，則有。即向量的起點在坐標原點時，終點應分別在拋物線和線段上.

現過原點分別作與向量及向量垂直的射線：.

∴，即.

∴的取值范圍是.

4.主元變換法

解：首先原不等式可變換為.設，顯然，恒成立

恒成立

.，

∴的取值范圍是.

例2：已知當時，不等式恒成立，求參數a的取值范圍.

1.最值分析法

解：設f(x)=x2+ax+3-a，則x2+ax+3-a>0(x∈[0，1])恒成立?圳[f(x)]min(x∈[0，1])>0.

⑴當，即a>0時，

.

⑵當，即時，

，即.

⑶當，即a<-2時，(1)=4>0恒成立，即a<-2，均滿足題意.

綜上所述：a<3.

2. “△”判別法

解：顯然，要使x∈[0，1]，x2+ax+3-a>0恒成立，只需二次函數y=x2+ax+3-a在區間[0，1]上的圖象恒在x軸上方。設△=a2-4(3-a)=a2+4a-12.

⑴當△<0，即-6

⑵當△>0，即a<-6或a>2時，y=f(x)的圖象與x軸有兩個交點，要使y=f(x)在區間[0，1]上圖象恒在軸上方，只需f(x)=0的兩根都小于0或都大于1.

⑶當△=0，即a=2或a=-6，滿足題意.

綜上所述：a<3.

含參數不等式恒成立問題，常出現在高考壓軸題中，不少學生望而卻步；然而，它之所以成為近幾年普通高考，對口高考的熱點，其原因：通過它，可考查函數、導數、不等式等高中數學的主干知識，可考查學生綜合解題能力，符合新課標、新課改要求，特別是，在培養學生思維的靈活性、創造性方面，它確實能起到一定的積極作用。

【參考文獻】

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[2]朱賽軍.“不等式恒成立問題”求解中的幾個抓手.中學數學教研.2009.2.

[3]朱勝強.一個不等式問題的教學與思考.數學通報.2010.7.

[4]王瑞敏.含參數的不等式在某區間上恒成立的問題.中學生數學化2011.7-8.

（作者：江蘇省鹽城技師學院）