初中數學綜合題教學的探析

【摘 要】數學綜合題具有知識容量大、能力要求高的特點，對數學思想方法的應用有一定的要求，學生往往難以應付。本文著重闡述了數學綜合題的四種策略。

【關鍵詞】數學；綜合題；策略

匈牙利數學家波利亞認為，掌握數學就意味著善于解題。初中數學綜合題旨在考查學生的解題思想和應用意識，鼓勵學生通過積極探索、勇于發現、大膽猜想提高數學素養。但由于綜合題涉及知識錯綜復雜、背景復雜，學生往往無從下手。部分教師往往采用題海戰術，企圖通過機械訓練來提高學生解題能力，往往收效甚微。筆者結合自身教學實踐，談談綜合題解題教學的策略。

一、善于審題

正確解題的首要條件是審題，一道題解的是否順利，有效審題至關重要。在審題教學中，教師要引導學生閱讀和分析問題的條件和解題的目標，對已知條件進行轉化，以提高學生的審題能力。首先，通過仔細閱讀，了解題目的全部條件和結論，明確解題的方向。其次是對條件進行轉譯改造，使條件向結論靠攏，凸現解題方向。最后是從多角度審視分析，挖掘隱含的信息，理解條件的全部含義，搭建條件和結論的橋梁。

題1：已知二次函數y=x2-2x-1的圖象的頂點為M，二次函數y=ax2+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點Q，它的頂點N在函數y=x2-2x-1的圖象的對稱軸上。（1）求點M與點Q的坐標；（2）當四邊形MONQ為菱形時，求函數y=ax2+bx的關系式。

綜合題涉及的知識點較多，結構復雜，在此題中，兩個問題是有關聯的，前一小題的結論是后一小題的條件，因此必須先解決了第（1）小題才能解決第（2）小題。由條件可以求出二次函數y=x2-2x-1的圖象的頂點為M的坐標為（1，-2），對稱軸為x=1。因為二次函數y=ax2+bx的圖象經過原點，并且它的頂點在x=1上，所以點Q與點O關于直線x=1對稱，所以點Q的坐標為（2，0）。根據四邊形MONQ是菱形，題目中隱含著四邊形MONQ是一個軸對稱圖形，即N點和M點關于直線OQ對稱，因此，點N的坐標為（1，2）。二次函數y=ax2+bx的圖象經過點N（1，2），Q（2，0），可以求得a=-2，b=4。因此二次函數y=ax2+bx的解析式為y=-2x2+4x。

二、展開聯想

數學聯想是創新的前提，是人類發現新規律、探求新知識的思維方式。教師要引導學生采用類比、歸納和猜想的方法，運用定理、公式、性質、推論加以證明，以實現知識的遷移。引導學生從知識點之間、數形關系之間、條件和結論之間尋找聯系，以培養學生從不同角度、不同方向進行思考，產生新穎、多樣的想法。

題2：△ABC與△DEF為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=6，∠CAB=∠FED=90°，將△DEF繞點A順時針旋轉，當DF與AB重合時，旋轉中止。現不考慮旋轉開始和中止的情況，設DE、DF（或延長線）分別交BC（或延長線）于G、H兩點。（1）始終與△AGC相似的三角形有 和 。（2）設GC=x，BH=y，求y關于x的函數關系式。（3）當x為何值時，△AGH為等腰三角形。

問題（1）中，由△ABC與△DEF為等腰直角三角形，挖掘隱含條件∠B=∠ACB=∠EDH=45°，與45°角相關聯的三角形有△ABC、△ABG、△ABH、△ACG、△AHG，觀察圖形，聯想與之形狀相似的有△ABH和△AHG。問題（2）中，由△CAG∽△BHA，可知=，即=，故y=（0

三、尋求突破

人往往依靠一些習慣和已有的經驗去分析、解決問題，局限于固有的常規思維解決問題。在數學學習中，我們有時需要打破常規思維地束縛，幫我們解決一些無從下手的問題，可以起到化繁為簡、化難為易的效果，幫助我們巧妙地解決某些問題。

在例2問題（3）中，在△DEF繞點A順時針旋轉過程中，我們可以借助于特殊情形，跳出常規的禁錮，尋求問題的突破口。

①當∠GAH為等腰三角形的底角時，可CG=x=

②當∠GAH為等腰三角形的頂角時，由△HGA∽△HAB知，HB=AB=6，BG=HC，則CG=12-6。

四、實現變遷

當學生運用一條思路不能解決問題、要及時地改變策略，從多角度思考問題，重新設計新思路解決問題，實現思路的變遷，從而有效解決問題。教師在教學中要引導學生化整為零、各個擊破，以提高學生解決問題的能力。

題3：某衣服的進價為每件400元，售價為每件500元，每個月可賣出210件；如果每件衣服的售價每上漲1元，則每個月少賣1件，設每件衣服的售價上漲x元，每個月的銷售利潤為y 元。（1）求y與x的函數關系式；（2）每件衣服的售價定為多少元時，每個月可實現利潤最大化？最大利潤為多少？（3）每件衣服的售價為多少元時，可實現利潤22000元？

銷售利潤應等于銷售數量與每件利潤的積，因此y=（210-x）（500+x-400）=-x2+110x+21000；由（1）可知：y=-（x+55）2+24025，因此當x=55，即售價為500+55=555元時，y存在最大值為24025。當y=22000時，-x2+110x+21000=22000，解得x1=10，x2=100。當x=10時，500+10=510，當x=100時，500+100=600元。所以當售價定為510元或600元時，每個月的利潤為22000元。

總之，我們數學教師要引導學生分析、綜合、比較、聯想，從多角度思考問題，幫助學生找到解決綜合題的方法和策略，從而提高分析和解決問題的能力。

（作者單位：江蘇省南通市通州區袁灶初中）