數(shù)學解題失誤成因分析與應對策略

在歷年的數(shù)學教學中，經(jīng)常有些平時數(shù)學學得很好的同學在考試中考出不滿意的成績，不能很好地展現(xiàn)自己的學習成果。是什么原因造成這些考生的遺憾，這是本課研究的主題，怎樣有效地避免類似的悲劇在以后的考查中重演，則是本課要達到的目標。

一、錯誤的特征

解題錯誤是數(shù)學過程中的正常現(xiàn)象，它既與數(shù)學學習環(huán)境有關(guān)，又與試題的難易程度有關(guān)。同時也與考生學習水平、身體與心理狀況有關(guān)。數(shù)學解題錯誤既有個性又有共性，數(shù)學錯誤有一定的規(guī)律性。

1.主觀盲動性。數(shù)學解題是主體感受并處理數(shù)學信息的創(chuàng)造性的思維過程。部分考生考試時求勝心切，閱讀未切題意，憑個人的經(jīng)驗盲目做題，而考試命題人對試題要實現(xiàn)突破被應試成分，以至于出現(xiàn)主觀認識錯誤， 陷入思維定勢，形成解題思維障礙，造成主觀盲動性錯誤。

2.漏洞隱蔽性。數(shù)學解題是考生借助特定“數(shù)學語言”進行數(shù)學思維的過程，在這個過程中考生的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學思維習慣有著決定性的作用。個體思維的跳躍性是產(chǎn)生思維漏洞的根本原因，這種思維漏洞一旦產(chǎn)生，考生是很難發(fā)現(xiàn)的，考生本人還自我感覺很好。這是直覺形式思維跳躍度和平時解題不寫過程有關(guān)，是聰明人犯的愚蠢的錯誤。

3.形式多樣性。解題錯誤形式多樣性是由數(shù)學知識的廣泛性和個體思維的不確定性決定的。一般來說考生有除有知識性錯誤、邏輯性錯誤、心理性錯誤、策略性的錯誤外，閱讀理解失誤有忽視隱含、忘記特殊、以偏概全、忽視分類。

4.錯誤可避性。解題錯誤是在數(shù)學解題過程中形成的，是數(shù)學認識過程中的正常現(xiàn)象。所謂“吃一塹長一智”，就是說我們要增強數(shù)學解題過程中的錯誤警戒意識，養(yǎng)成嚴謹?shù)臄?shù)學思維習慣，并構(gòu)建數(shù)學解題過程中常見性錯誤的“錯題寶典”，養(yǎng)成解題反思，平時多重視作業(yè)卷子的錯誤分析，找準原因，及時糾正，因此高考數(shù)學解題中的錯誤也是可以避免的。

二、錯誤的成因分析

1.概念理解不透

例1 曲線+=1(m<6)與曲線的+=1(5

A.焦點相同B.焦點同在一坐稱軸上

C.焦距相等 D.頂點相同

剖析——正確選擇為C，但ABC極易相混淆.本題要分清曲線到底是什么圓錐曲線，才能相應的應用概念來解答

應對策略——對概念性質(zhì)一定要認識本質(zhì)，是解題最基礎(chǔ)的東西，在平時的練習中就要養(yǎng)成好的習慣，在認識中不斷提升理解熟練程度。

2.閱讀理解不細

例2 在極坐標系中，從極點O作圓。ρ=8sinθ的弦ON，則ON的中點的軌跡方程是 。

剖析——正確結(jié)果在極坐標方程ρ=4sinθ，錯誤原因是寫成了直角坐標系內(nèi)的方程x2+y2-4y=0。不是你不會，就是理解偏差。

應對策略——審題細致，克服粗心大意，是解題的良好習慣，克服低級錯誤，絕對不能出現(xiàn)“答非所問”，知道細節(jié)決定成敗。像本例學習時必須不放過細節(jié)。

3.等號條件不用

例3 已知：a>0， b>0， a+b=1，求(a+)2+(b+)2的最小值。

錯解：(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8，

∴(a+)2+(b+)2的最小值是8。

剖析——上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=，第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

事實上，原式= a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4= (1－2ab)(1+)+4，

由ab≤()2=得：1－2ab≥1－=， 且≥16，1+≥17，

∴原式≥×17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)，

∴(a+)2 + (b+)2的最小值是。

應對策略——在用不等式求最值時，忽視不等式中等號成立的條件，導致結(jié)果錯誤。還要掌握等式不成立時，如何求解的方法，如求+最小值。

4.忽視數(shù)形結(jié)合思想

例4 求過點（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個交點。

錯誤解法：設所求的過點（0，1）的直線為y=kx+1，則它與拋物線的交點為

y=kx+1y2=2x，消去y，整理得 k2x2+(2k-2)x+1=0。

直線與拋物線僅有一個交點，∴Δ=0，解得k=。∴所求直線為y=x+1。

剖析——此處解法共有三處錯誤：

第一，設所求直線為y=kx+1時，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即k≠0，而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴密。

綜上，滿足條件的直線為：y=1，x=0，y=x+1。

應對策略——數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學思想，應用極為廣泛，要重點掌握。有了形，數(shù)就直觀。平時積累常見被忘記的特殊情況如二次項系數(shù)為0、斜率不存在、零向量、共線向量、共面等等并且配以相應的圖形加深理解，多用一題多解訓練，不斷積累不斷比較方法優(yōu)劣，注意解后反思.

5.參數(shù)討論不分

例5 設等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項和Sn＞0（n=1，2，3…）。

（1）求q的取值范圍；

（2）設bn=an+2－an+1，｛bn｝的前n項和為Tn，試比較Sn與Tn的大小。

剖析（1）因為｛an｝是等比數(shù)列，Sn＞0，可得a1=S1＞0，q≠0，

當q=1時，Sn=na1＞0，

當q≠1時，Sn=＞0，即＞0（n=1，2，3，…），則有1-q>0，1-qn>0，①或1-q<0，1-qn<0。② 由②得q＞1，由①得－1＜q＜1。故q的取值范圍是（－1，0）∪（0，+∞）。

（2）由bn=an+2－an+1=an（q2－q），∴Tn=（q2－q）Sn，

于是Tn－Sn=Sn（q2－q－1）=Sn（q+）（q－2），又Sn＞0且-1＜q＜0或q＞0，則當－1＜q＜－或q＞2時，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn， 當－＜q＜2且q≠0時，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn， 當q=－或q=2時，Tn－Sn=0， 即Tn=Sn。

應對策略：在研究和解決數(shù)學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，從而達到解決整個問題的目的，這一思想方法，我們稱它為“分類討論的思想”。引起分類討論原因，通常有以下幾種：①涉及的數(shù)學概念是分類定義的（如|x|的定義，P點分線段的比等）；②公式、定理、性質(zhì)或運算法則的應用范圍受到限制；③幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定；④求解的數(shù)學問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；⑤數(shù)學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值會導致不同結(jié)果。

分類討論的一般步驟是：（1）確定討論對象和確定研究的全域；（2）進行科學分類（按照某一確定的標準在比較的基礎(chǔ)上分類），“比較”是分類的前提，“分類”是比較的結(jié)果。分類時，應不重復，不遺漏；（3）逐類討論；（4）歸納小結(jié)，整合得出結(jié)論。

6.隱含條件疏忽

例6 已知(x+2)2+=1， 求x2+y2的取值范圍。

錯解 由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，

∴當x=－時，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范圍是(－∞， ]。

剖析——沒有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。

事實上，由于(x+2)2+=1?圯(x+2)2=1-≤1?圯-3≤x≤-1，

從而當x=－1時x2+y2有最小值1。∴x2+y2的取值范圍是[1，]。

應對策略——注意有界性：偶次方x2≥0，三角函數(shù)-1≤sinx≤1，指數(shù)函數(shù)ax>0，圓錐曲線有界性等。注意公式成立的條件。

以上是本人對學生數(shù)學學習中經(jīng)常出現(xiàn)的問題加以粗淺的分析和總結(jié)。歡迎予以批評指正。

【參考文獻】

[1]喬家瑞.數(shù)學高考失分對策[M].北京大學出版社，1997.11.

（作者單位：上海市育才中學）