2012年高考不等式考點預測

不等式作為高考的知識考點，是高中數學的重點和難點內容，它滲透到了中學數學課本的各個章節，不等式作為一個解題工具，是解決其它數學問題的一種有利工具．單純考查不等式的考題，一般是中低檔難度題，內容多涉及不等式的性質、解法、均值不等式的應用以及含有參數的簡單不等式.考查不等式的綜合應用，在解答題中一般與函數、數列、導數等知識結合，屬于中高檔難度題．預側2012年高考不等式的命題趨向：仍會繼續保持2011年的命題特點，淡化獨立性，突出工具性，更考查實用性.以客觀題的形式來考查不等式的性質和不等式的解法，以解答題的形式來考查突出不等式與函數、數列、導數等知識的綜合應用，深入考查不等式的證明和邏輯演繹推理能力.本文針對各個考點進行考題如下預測：

考點一：不等式的性質

不等式的性質是解不等式與證明不等式的理論根據，必須透徹理解，且要注意性質使用的條件.

例1． 下面四個條件中，使a

A． a

解析：本題考查了不等式的基本性質及充要條件基本概念. A的必要不充分條件是B的意思是ＡB，但反之不成立，故選A.

點評：這類問題考查了不等式的基礎知識及必要不充分條件的定義，需要考生認真分析，只要心細，這類問題的分值不會丟，這類題屬于容易題.

考點二：含參數的不等式問題

含有參數的不等式問題是高考常考題型，求解過程中要利用不等式的性質將不等式進行變形轉化，化為一元二次不等式等問題去解決，注意參數在轉化過程中對問題的影響．

例2． 已知f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0.（1）證明：f（x）為奇函數且是R上的減函數；（2）若關于x的不等式f（cos2x）-f（sin2x）

（1）證明：依題意取x=y=0有f（0）=2f（0），∴ f（0）=0.

又取y=-x可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）（x∈R），∴ f（-x）=-f（x）（x∈R）.

由x的任意性可知f（x）為奇函數，又設x10， ∴ f（x2）=f [x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1），∵f（x2-x1）<0，∴ f（x1）>f（x2）.

∴ f（x）在R上為減函數．

（2）解析：∵函數f（x）是奇函數，∴由f（cos2x）-f（sin2x）

∴ f（cos2x-sin2x）m對于一切x∈[0，]時恒成立.

當x∈[0，]時，2x+∈[，]，故此時cos（2x+）的最小值為-，∴ m<-．

考點三：解不等式問題

解不等式是高考重點考查的內容之一，有時它會直接要考生解一個不等式，有時會把解不等式的過程蘊含在試題里.

例3． 解不等式2x+3#8226;（）4-x<．

解析：∵ 2x+3#8226;（）4-x<，∴ 2x+3#8226;2x-4<22x-1

點評：本題是指數型的不等式，盡可能化為同底．

例4． 若對于實數x有x+lg（２－x）=x-lg（２－x）成立，則實數x的取值范圍是.

解析：依題意可得：xlg（２－x）≤0，當x≤0時，不等式顯然成立；當x>0時，0<2-x≤1，即1≤x<2，故實數x的取值范圍是（-∞，0]∪[1，2）.

點評：本題考查了不等式等號a+b≥a-b成立的條件，屬于中等題.解不等式時需要進行簡單的分類討論，計算過程也是簡單的.

考點四：均值不等式問題

1． 把稱為a、b的算術平均數，稱為a、b的幾何平均數.因而，二元均值定理可以敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

2． 創設應用算術平均數與幾何平均數定理使用的條件，合理拆分項或配湊因式是經常用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條件(兩數都為正)；二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號成立的條件(當且僅當a=b時取“=”號)，它具有一定的靈活性和變形技巧，高考中常被設計為一個難點．

例5． 已知1>x>0，a>0，+≥9恒成立，則a的最小值是.

解析：令y=1-x，+≥9+≥9恒成立，則有（+）min≥9.

而（+）（x+y）=1+a++≥1+a+2=（+1）2，所以有（+1）2≥9a≥4，故a的最小值是4.

點評：本題屬于中等難度的試題，它考查了基本不等式的巧妙運用及恒成立問題的轉化，在歷年高考中這類問題常常出現，希望考生要引起注意.

考點五：線性規劃問題

例6． 設變量x，y滿足+≤1，則2x-y最大值和最小值分別為（ ）

A． -6，2B． -6，6C． －２，６D． －２，２

解析：注意到方程+=1表示的曲線關于x，y，原點對稱，故只要作出第一象限的圖像即可作出全部的圖像.它的圖像是一個平行四邊形及其內部（圖略）.

令2x-y=0，得到一條直線，從圖像中可以看到直線上方，點（-3，0）到直線最遠，在直線的下方，點（3，0）到直線最遠，所以這兩個點是最值點，所以選B.

點評：這是一道非常規的線性規劃問題，目標函數是線性的，可行域卻是非線性的，作圖成了最關鍵的解題工具.我們在掌握常規的二元一次不等式組表示的可行域的同時，也要掌握非線性的可行域問題.

考點六：與不等式交匯的問題

不等式幾乎能與所有數學知識建立廣泛的聯系，通常以不等式與函數、三角、向量、數列、解析幾何、數列的綜合問題的形式出現，尤其是以導數或向量為背景的導數（或向量）、不等式、函數的綜合題和有關不等式的證明或性質的代數邏輯推理題，問題多屬于中檔題甚至是難題，對不等式的知識，方法與技巧要求較高

例7． 當x<0時，ax2+4x+1>0恒成立，則實數a的取值范圍是.

解析：ax2+4x+1>0恒成立a>-=-（+），故有a>[-（+）]max，令t=（x<0），則有：（+）=t2+4t=（t+2）2-4≥-4，當t=-2時等號成立， 所以有a>4.

點評：本題是一道容易做錯的試題，很多考生會直接用判別式小于0解之.或者分類討論計算，容易計算錯.運用不等式的知識及配方法，使問題得到簡單處理.平時在復習時，一定要對比一些方法，才能在考試中找出最佳的方法.

例8． 在區間[t，t+1]上滿足不等式x3-3x+1≤1恒成立，則實數t的取值范圍是．

解析：利用數形結合思想，對函數f（x）=x3-3x+1作圖． 先作函數y=x3-3x+1的圖像，由x3-3x+1x=±，x=0，x3-3x+1=-1x=-2，x=1.

再作f（x）=x3-3x+1，

圖解如下：

所以0≤t≤-1.

點評：數形結合是一種好方法，有時它能直觀地把解答寫出來.作圖要運用導數的知識來處理，注意極值點的位置.這是一道難度大的試題，它考查了不等式與導數的靈活運用.

例9． 已知函數f（x）=x2+lnx-ax，（Ⅰ）若f（x）在（0，1）上是增函數，求a的取值范圍；（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，設g（x）=x2+x-a，（1≤x≤3），求函數g（x）的最小值.

解析：（Ⅰ）f ′（x）=2x+-a．

∵ f（x）在（0，1）上是增函數，

∴ 2x+-a>0在（0，1）上恒成立，即a<2x+恒成立．

∵ 2x+≥2（當且僅當x=時取等號）．

所以a<2．

當a=2時，易知f（x）在（0，1）上也是增函數，所以a≤2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≤2.

當a≤1時，g（x）=x2+x-a在區間[1，3]上是增函數，

所以g（x）的最小值為g（1）=2-a．

當1

因為函數g（x）在區間[a，3]上是增函數，在區間[1，a]上也是增函數，所以g（x）在[1，3]上為增函數，

所以g（x）的最小值為g（1）=a．

所以，當a≤1時，g（x）的最小值為2-a；

當1

點評：這是一道不等式與函數知識結合的試題，導數與絕對值往往是高考的一個重點內容，不等式在這些復雜知識中起著橋梁的作用.

總之，不等式內容在高考數學中的地位是相當重要的，它最重要的是作為一個工具，對很多問題能起化歸作用，因此，在解答題中，它常常會與其它知識相結合，希望同學們能在這類問題中能合理地利用不等式，在高考中取得自己滿意的分數.

（作者單位：汕尾市華南師大附中汕尾學校）

責任編校徐國堅