導(dǎo)數(shù)中的數(shù)學(xué)思想集萃

數(shù)學(xué)解題離不開最基本的思想與方法，導(dǎo)數(shù)問題也是如此.數(shù)學(xué)思想，是我們攻克一切函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的重要“法寶”. 那么，破解導(dǎo)數(shù)問題通常涉及哪些基本的“數(shù)學(xué)思想”呢？

一、方程思想

在導(dǎo)數(shù)問題中，方程思想往往與待定系數(shù)法“結(jié)伴而行”.在確定函數(shù)的表達(dá)式或求函數(shù)表達(dá)式的系數(shù)等方面都可以根據(jù)方程的思想，通過待定系數(shù)法來實(shí)現(xiàn).

例1． 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1時(shí)取得極值，且f（1）=-1．試求常數(shù)a、b、c的值.

分析：考察函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f ′（x）=0的根建立起由極值點(diǎn)x=±1所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用方程的思想結(jié)合待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值．

解析：由f ′（-1）=f ′（1）=0，得：

3a+2b+c=0 ……（1）

3a-2b+c=0 ……（2）

又f（1）=-1，∴a+b+c=-1 ……（3）

解（1）（2）（3），得a=，b=0，c=-．

點(diǎn)評：本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運(yùn)用了已知條件，從而確定了解題的大方向.

二、轉(zhuǎn)化思想

等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.利用導(dǎo)數(shù)，三次函數(shù)問題往往可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來處理.

例2． 已知函數(shù)f（x）=ax3-x2+x-5，在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

分析：由f（x）的R上是增函數(shù)可知f ′（x）>0，從而將問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式問題求解.

解析：f ′（x）=3ax2-2x+1，因?yàn)閒（x）的R上是增函數(shù)，所以f ′（x）>0，

即3ax2-2x+1>0在R上恒成立，即a>0，<0，也即是a>0，4-12a<0，所以a>.

又因?yàn)閒（x）在R上也是連續(xù)的，所以a的取值范圍是[，+∞）.

點(diǎn)評: 本題將三元多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性這個(gè)不熟悉問題，是通過導(dǎo)數(shù)這個(gè)“工具”轉(zhuǎn)化為一元二次不等式這個(gè)熟悉問題來求解.

三、分類討論思想

利用導(dǎo)數(shù)討論含參函數(shù)的單調(diào)性，往往需要分類討論.

例3．（2011湖南）設(shè)函數(shù)f（x）=x--alnx（a∈R），討論f（x）的單調(diào)性.

分析：由于常數(shù)a不確定，故f（x）的單調(diào)性隨a的變化而變化，需分類討論.

解析：f（x）的定義域?yàn)?（0，+∞）. f ′（x）=1+-=. 令g（x）=x2-ax+1，其判別式=a2-4.

（1）當(dāng)a≤2時(shí)，≤０，f ′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

（2）當(dāng)a<-2時(shí)，>0，g（x）=0的兩根都小于0，在（0，+∞）上，f ′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

（3）當(dāng)a>2時(shí)，>0，g（x）=0的兩根為x1=，x2=，當(dāng)00；當(dāng)x1x2時(shí)， f ′（x）>0，故 f （x）分別在（０，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù) f ′（x），通過判斷函數(shù) f （x）定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號，來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性．當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時(shí)，分類討論在所避免，不同的化歸方法和運(yùn)算程序往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類討論的準(zhǔn)確性．

四、構(gòu)造思想

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀，可以證明一類不等式.

例4． 求證：a10-a6+a2-a+1>0.

分析：直接證明，比較困難.可對不等式左邊作一變形再構(gòu)造函數(shù)證得.

證明：設(shè)x=a4，構(gòu)造f（x）＝a2x2-a2x+a2-a+1.

（1）當(dāng)a2=0時(shí)，有f（x）=1；

（2）當(dāng)a2>0時(shí)，有f ′（x）=a2（2x-1），當(dāng)x>時(shí)，f ′（x）>0； 當(dāng)x<時(shí)，f ′（x）<0.

∴x=時(shí) ， f（x）min=f（），而f（）=a2-a+1=a2+（a2-1）2>0.

綜合可得f（x）>0，即a10-a6+a2-a+1>0成立.

說明：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立，我們還可以利用導(dǎo)數(shù)先求出該一元函數(shù)的最值，然后通過將這個(gè)最值與有關(guān)數(shù)據(jù)比較的方法，使原不等式獲證.

鞏固練習(xí)：

1. 若函數(shù)f（x）=x3-3a2x+1的圖像與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

答案：（-1，1）.

解析：f ′（x）=3x2-3a2=3（x-a）（x+a）．

（１）當(dāng)a>0時(shí)，f（x）的極值點(diǎn)為x1=-a，x2=a且f（－a）為f（x）的極大值，f（a）為f（x）的極小值，欲使f（x）的圖像與直線y=3只有一個(gè)交點(diǎn)，則有f（－a）<3，得0

（２）當(dāng)a<0時(shí)，仿上得-1

（３）當(dāng)a=0時(shí)，顯然成立.

綜上得-1

2. 若曲線y=x在點(diǎn)（a，a）處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則a=_______.

答案：64.

解析：y′=-x，∴k=-a，切線方程是y-a=-a（x-a），令x=0，y=a，令y=0，x=3a，∴三角形的面積是Ｓ=#8226;3a#8226;a=18，解得a=64.

3. 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為-3．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）若過點(diǎn)A（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解析：（Ⅰ）f ′（x）=3ax2+2bx+c，

依題意f ′（1）=3a+2b+c=0，f ′（-1）=3a-2b+c=0f ′（0）=c=-3，a=3，b=0，c=-3，∴ f（x）=x3-3x.

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（t，t3-3t），∵f ′（x）=3x2-3，∴切線斜率

k切＝f ′（t）=3t2-3，∴切線方程為y-（t3-3t）=（3t2-3）（x-t）.又切線過點(diǎn)

A（2，m），∴m-（t3-3t）=（3t2-3）（2-t），∴m=-2t3+6t2-6.令g（t）＝-2t3+6t2-6，則g′（t）＝-6t2+12t=-6t（t-2），由g′（t）=0得t=0或t=2 . 列表分析：

畫出草圖知，當(dāng)－６

4. 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0.

（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；

（2）如果f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）是否存在最小的正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，不等式ln>恒成立.

解析：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），b=-12時(shí)，由f ′（x）=2x-==0，得x=2（x=-3舍去）.當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f ′（x）<0，當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f ′（x）>0，所以當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f （x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f （x）單調(diào)遞增，所以f （x）min=f （2）=4-12ln3.

（2）由題意f ′（x）=2x+==0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)g（x）=2x2+2x+b，則=4-8b>0，g（-1）>0，解之得0

（3）對于函數(shù)f （x）=x2-ln（x+1），令函數(shù)h（x）=x3-f （x）=x3-x2+ln（x+1），則h′（x）=3x2-2x+=，∴當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h′（x）>0，所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）>h（0）=0，即x2-恒成立.

顯然，存在最小的正整數(shù)N=1，使得當(dāng)n≥N時(shí)，不等式ln>-恒成立.

（作者單位：江蘇省太倉高級中學(xué)）

責(zé)任編校徐國堅(jiān)