三角備考應考慮變通

高考備考過程中，師生都有這樣一個共識：高考總分主要看數學，數學總分主要看第18、19題．因為前兩題很容易，大部分考生會做，后兩題很難，大部分考生不會做．更具體一點來說，三角、概率統計、立體幾何基本上是前三題，特別是三角題，基本考容易題，而函數、解析幾何、數列基本考難題．這樣理解是個極大的誤區，現代高考可以說一切皆有可能，只有嚴格按照教學大綱和考試說明科學備考才能把主動權掌握在自己手中．近期各地模擬試題基本上把三角題放在第16題，幾乎是清一色的容易題，由于難度不大，很容易誤導考生，如果忽略細節，極易造成不必要的失分．展望2012年高考三角題，很多專家預測可能加大難度后移，并提出了應對措施，下面做三個方面的展望，供同學們參考．

一、保留傳統風格，細節決定成敗

三角部分知識包括三角變換、三角函數的圖像和性質以及解三角形等三部分，歷年高考都以這些知識為主，用傳統方法考傳統題型，細節顯得尤為重要．有些小技巧如果處理不當會造成低級失誤，一個小細節處理不好就可能釀成全盤皆輸的尷尬．

1． 忽略“有界”，值域擴大.

【例1】已知：sin+sin=，求t=sin-cos2的取值范圍．

錯解：由sin=-sin知t=sin-cos2=-sin-（1-sin2）=sin2-sin-＝sin-2-，因為-1≤sin≤1．所以當sin=時，tmin=，sin=-1時，tmax=．

剖析：因為sin=-sin，又sin≤1，所以sin∈[-，1]，而不是[-1，1]．

正解：因為t＝sin-2-，由sin=-sin，又sin≤1，知sin∈[-，1]，所以當sin=時，tmin=，sin=-時，tmax=．

2． 改變范圍，導致增根.

三角函數值域取決于其定義域，角的取值發生變化時，必須考慮三角函數的取值是否隨之變化，若擴大角的取值范圍，三角函數的取值可能增根，否則可能失根．

【例2】已知角∈（0，），sin+cos=，求tan的值．

錯解：將sin+cos=兩邊平方得1+2sincos=，所以sincos=-，因此sin，cos是方程x2-x-=0的兩實根，解得sin=-，cos=或sin=，cos=-，

所以tan==-或-．

剖析：由sincos=-<0，且∈（0，），所以必有sin>0，cos<0．

正解：由sincos=-<0，且∈（0，），故sin>0，cos<0，

所以只能取sin=，cos=-，所以tan==-．

3． 錯選公式，引發失誤.

三角變換的技巧在于靈活應用公式，有時選擇公式也是關鍵，沒有正確選好公式也會導致失誤，下面看一個選自課本的例題．

【例3】已知sin=，sin=，且，∈0，，求角+的值．

錯解：由sin=，sin=，且，∈0，知cos=，cos=，

所以sin（+）=×+×＝，又，∈0，，所以+∈(0，)，所以+=或．

剖析：這里sin=<，sin=<，且，∈0，，所以，∈0，，所以+不能取．

正解：由cos（+）=×-×＝，又，∈0，，所以+∈(0，)，所以+=．

二、混搭鄰近知識，注重內在聯系

要改變目前這種千篇一律的考查模式，最容易辦到的就是把三角與其它知識結合起來考，歷年高考中，比較多見的是三角與向量結合，三角與二次函數結合．這里再介紹三種混搭方式，供大家參考．

1． 三角與導數混搭.

【例4】如圖，函數y=2cos（x+）x∈R，0≤≤的圖像與y軸交于點（0，），且在該點處切線的斜率為-2．

（1）求和的值；

（2）已知點A，0，點P是該函數圖像上一點，點

Q（x0，y0）是PA的中點，當y0=，x0∈[，]時，求x0的值．

解析：（1）將x=0，y=代入函數y=2cos（x+）得cos=，因為0≤≤，所以=．

又因為y′=-2sin（x+），y′x=0=-2，=，所以=2，因此y=2cos2x+．

（2）因為點A，0，Q（x0，y0）是PA的中點，y0=，所以點P的坐標為2x0-，．

又因為點P在y=2cos2x+的圖像上，所以cos（4x0-）=．

因為≤x0≤，所以≤4x0-≤，

從而得4x0-=或4x0-=．

即x0=或x0=．

2． 三角與數列混搭.

【例5】已知等比數列{an}的公比q=3，前3項和S3=．

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若函數f(x)=Asin(2x+)(A≥0，0<

解析：（1）由q=3， S3=得=．

解得a1=，

所以an=×3n-1=3n-2．

（2）由（1）可知an=3n-2，所以a3=3．

因為函數f(x)的最大值為3，所以A=3.

因為當x=時，f(x)取得最大值，

所以sin2×+=1，

又0<<，故=．

所以函數f(x)的解析式為f(x)=3sin2x+.

3． 三角與函數混搭.

【例6】對定義域分別是Df、Dg的函數y=f(x)、y=g(x)，規定：函數h(x)=f(x)#8226;g(x)， 當x∈Df且x∈Dgf(x)， 當x∈Df且xDgg(x). 當xDf且x∈Dg

（1）若函數f(x)=，g(x)=x2，寫出函數h(x)的解析式；

（2）求問題（1）中函數h(x)的值域；

（3）若g(x)=f(x+)，其中是常數，且∈[0，]，請設計一個定義域為R的函數y=f(x)，及一個的值，使得h(x)=cos4x，并予以證明.

解析：（1）依題意h(x)=，x∈(-∞，1)∪(1，+∞)1.x=1

（2）當x≠1時，h(x)==x-1++2．

若x>1時，h(x)≥4，其中當且僅當x=2時等號成立，

若x<1時，h(x)≤0，x<1，則h(x)≤4，其中當且僅當x＝0時等號成立.

∴函數h(x)的值域為（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）.

（3）令f(x)=sin2x+cos2x，=，則g(x)=f(x+)=sin2x++cos2x+=cos2x-sin2x.

于是h(x)=f(x)#8226;f(x+)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x.

三、提高試題難度，滲透數學思想

一個成熟的考生不能誤認為前三題就一定是三角、概率統計、立體幾何，完全可以把前三題中一到兩題加大難度后移，比如將函數思想、轉化思想、分類討論思想滲透其中.

【例7】已知角∈[0，2)，且cos2011-sin2011<2011(sin-cos)，求角的取值范圍.

解析：不等式cos2011-sin2011<2011(sin-cos)可以轉化為2011sin+sin2011<2011cos+cos2011，因為函數f(x)=2011x+x2011在區間(-∞，+∞)上單調遞增，所以原不等式可以進一步轉化為sin>cos，即2k+<<2k+(k∈Z)，又∈[0，2)，所以角的取值范圍是，.

點評：本例以三角為背景，用函數的單調性解決，體現了轉化思想，即轉化為函數問題.

【例8】是否存在實數a，使得函數f(x)=sin2x+acosx+a-在閉區間[0，]上的最大值是1，若存在，求出對應的a的值，若不存在，試說明理由.

解析：因為f(x)=sin2x+acosx+a-=-cosx-2++-.當0≤x≤時，0≤cosx≤1.若>1，即a>2，則當cosx=1時，[f(x)]max=a+-=1，解得a=<2，故舍去.

若0≤≤1，即0≤a≤2，則當cosx=時，[f(x)]max=+-=1，

解得a=或-4 ，因為0≤a≤2，故a=-4 應舍去.

若 <0，即 a<0，當 cosx=0時[f(x)]max=-=1，解得a=>0，故舍去.綜上所述，存在a=滿足題意.

點評：本例中，參數a取不同的值時，對結果會有影響，因此對參數a進行分類討論，體現了分類討論思想.

【例9】已知△ABC中， x，y，z為任意實數，求證：x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB，當且僅當x∶y∶z=sinA∶sinB∶sinC時取等號.

解析：作差并加以變形得x2+y2+z2-（2xycosC+2yzcosA+2zxcosB）=（x-ycosC-zcosB）2 +（ysinC-zsinB）2≥0.所以x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.等號成立的充要條件是x-ycosC-zcosB=0，且ysinC-zsinB=0，由ysinC-zsinB=0知y∶z=sinB∶sinC，由ysinC-zsinB=0得z=，代入x-ycosC-zcosB=0得x-ycosC-#8226;cosB=0，即x∶y=cosC+=（cosCsinB+sinCcosB）∶sinB=sinA∶sinB，即證明了當且僅當x∶y∶z=sinA∶sinB∶sinC時取等號.

點評：本題難度明顯提高，有一定的技巧性，作差構造二次函數，配方為完全平方，用不等式結合三角變換解決，是一個綜合性較強的問題，體現了函數方程不等式的思想.

高考是綜合實力的較量，是智慧的比拼，無論是哪個版塊，不管怎樣命題，從什么角度考，都沒有絕對的，一成不變的說法.一個有智慧的考生應該充分準備，從實力和策略是提高自己，有信心取得優異成績.

（作者單位：南雄市第一中學）

責任編校徐國堅